高考数学复习点拨 回归分析的基本思想及其初步应用知识点精析.doc

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1、回归分析的基本思想及其初步应用知识点精析教材中通过一些典型的案例，从不同的角度阐述了统计的一些基本思想方法。教材中主要阐述的是线性回归的思想方法及其应用。我们可以从中很好地感悟其回归的思想方法，把它应用到生活实际中去。一．知识要点，学习目标１复习线性回归方程的求法及步骤，了解回归方程中的参数求法；２结合案例体会回归分析的基本思想及其应用；（1）掌握用相关系数分析两个变量之间线性相关关系的强弱；（2）掌握线性回归模型与线性回归方程的关系及其参数、变量的意义；（3）会通过残差分析研究模型的拟合精度以及回归方程的预报精度；（4）会通过相关

2、指数R2表达出解释变量和误差变量对预报变量的贡献比，刻画出回归效果。（5）了解非线性回归问题转化为线性回归问题；（6）通过求回归方程，建立回归模型进行回归分析，使知识形成网络。体会回归分析的基本思想。二．线性回归方程的确定（复习内容）如果一组具有相关关系的数据　作出散点图大致分布在一条直线附近,那么我们称这样的变量之间的关系为线性相关关系(也称一元线性相关),这条直线就是回归直线,记为．那么如何求得参数使得各点与此直线的距离的平方和为最小,即如何求得线性回归方程呢?在所求回归直线方程中,当取时，与实际收集到的数据之间的偏差为,偏差的

3、平方为(如图1).即以来刻画出个点与回归直线在整体上偏差的平方和,显然Q取最小值时的的值就是我们所求的。应注意,这个最小距离不是通常所指的各数据的点到直线的距离,而是各数据点沿平行y轴方向到直线的距离（如图1所示）．y图1y图2用心爱心专心　　下面我们看最小二乘法求的几种方法：　1．配方法将展开,再合并,然后配方整理,从而求得．此解法求参数的思想及方法是简单的,但是运算量较大，我们只要明白其思想方法即可．　2．二次函数法　　下面举例说明如何用二次函数法求参数。例．　已知变量与由下列四对对应数据：1　234２３用最小二乘法求关于的回归

4、直线方程．　分析：要理解最小二乘法的隐含的数学思想方法，区别公式求法。　解答：设所求回归方程为，则各数据点与回归直线距离的偏差平方和为：　　　　　　　　　　整理成关于的二次函数为：　　　　　　　　　　　　所以当（1），有最小值整理成关于的二次函数为：　　　　　　　　　　　　所以当（2），有最小值用心爱心专心　　　　　　解（1），（2）得，　　　　　　因此，所求回归方程为．　　　　　解题剖析：这里通过特例给出了较为简单的最小二乘法求回归方程，同学们可以以此法求线性回归方程中的参数，这也体现了由特殊到一般的数学思想方法．　　　　3．添项

5、法　可以用添项法较为简捷的求出截距和斜率分别是使取最小值时的值．　　　　　解答：＝－2　　　　　　　　　由于　＝，又　　　　　　　　　　　＝　　　　　　　　　　＝　　　　　　　　　　＝0　　　　　　　　　所以，　　　　＝用心爱心专心＋＝＋－由于后两项与、无关，而前两项非负，因此要使取得最小值，当且仅当前两项的和为0，即有　　　　　这就是我们所要求的公式（无特殊要求时以此公式求回归方程中的、）．其中为样本数据,为样本平均数，称为样本点中心，且所求线性回归直线经过样本点中心点（如图2所示）．当回归直线斜率时,为线性正相关,时为线性负相关

6、.三．线性回归分析：回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．前面我们给出了线性回归方程，这里我们主要结合教材分析一元线性回归问题．1．以散点图分析线性相关关系，散点图是较粗略地分析和判断两个具有相关关系的变量是否线性相关的问题，如果是线性相关的，我们可以求其线性回归方程，如果不是线性向相关的，即使求得线性回归方程，也是无效的；也就是说不能对一些数据进行分析判断，不能应用它解决和解释一些实际问题．2．以相关系数分析线性相关关系的强弱两个变量之间的相关关系的样本相关系数：用心爱心专心可衡量是否线性相关，以及线性相性

7、关系的强弱．由于分子与线性回归方程中的斜率的分子一样（这也给出了公式的内在联系以及公式的记法），因此，当时，两个变量正相关；当时两个变量负相关．当的绝对值接近１，表明两个变量的线性相关性很强；当的绝对值接近０，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．规定当时，我们认为两个变量有很强的线性相关关系．3．解释变量与随机误差对预报精度的影响以及残差分析（1）有关概念由于样本数据点与一元线性回归方程上的点还有一定的差距，这说明了另外的一个因素随机误差的影响．于是有线性回归模型图3y其中和为模型的未知参数；称为解释变量，称为预报变量；是与之间

8、的误差，叫随机误差。随机误差的估计值为：称为相应于样本点的残差（如图３）．（2）通过残差分析判断模型拟合效果　由计算出残差，，…，，然后选取横坐标为编号、或解释变量或预报变量，纵坐标为残差作出残差图．通过图形分析，如果样本点的残差较大