多球平衡问题.pdf

《多球平衡问题.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、Vo1．36NO．7物理教师第36卷第7期(2015)PHYSICSTEACHER2015侄·竞赛园地·多球平衡问题邱为钢(湖州师范学院理学院，浙江湖州313000)多球平衡问题是中学物理竞赛训练常见题N1—————+(＼4‘)，目，理想模型是多个光滑的球，约束在曲面(柱面N2一七0()2一七(z，-y)．或半球面)内，或者用绳子悬挂起来，求满足什么3个球受力平衡，两个绳子中张力和3个小球重力样的条件达到平衡．问题关键是求解受力平衡方矢量和为O，即程，常用方法是几何和三角函数法．其实用代数法(，+)+(一，h+)+(解析几何法)更加直观简

2、单，且容易推广到三维(2M~m)g(O，一1)一0．(5)空间．代数法是基于这样的思想：如果一个物理矢对第1个小球来说，绳子张力，重力和第3个小球量，例如力，已经确定与一个几何矢量方向相同，对它的作用力之和为0，即那么这个物理矢量必定与这个几何矢量成比例关(，h十)+是(一，一)十系，它们的分量之间也成比例关系，且分量之间的Mg(O，一1)一o．(6)比例系数相同．这个比例系数是常数，有量纲．为由(6)式解得集中讨论，本文只考虑悬挂多球平衡问题．：k-_Mg．(7)先讨论3球问题，用两个相同长度由(5)式解得的绳子拴住两个一样一—(2M+

3、m)g“2(_+T_y)．’(8)的球，挂在天花板上的同～顶点上，两球定义质量比为'7一，由(7)和(8)式解得接触，然后再把第3鱼——一——一一——2(L9)个球放在两球上，松m手，看这3个球能否第3个小球到绳子的距离d为达到平衡．(这是假想图1悬挂了球示意图===．模型，你试着做做实一再．‘(10)验看呢，有问题吗?)假定3球达到平衡，设第3个考虑实际约束条件，第3个小球碰不到绳子，球的球心()为原点，坐标为(0，0)，半径为r，质量即>r，或者为m．前两个球球心为0，o坐标分别为(，2r]xy>(Z+R)r．(11)一)，(一，～)

4、，半径为R，质量为M．天花板上(11)式两边平方，并利用(1)和(2)式，且定义半径顶点H坐标为(0，h)，绳子长度为z，如图1所示．比为一垦，那么(11)式化为两球的球心距离为OO一R+r，即有z。十y。一(R+r)。．(1)4rfx2y2>Ix2+(1+2'7)2y2]高等．(12)顶点到球心距离为HO===f+R，即有不等式(12)成立的必要条件是对应的判别式大于+(h+v)一(Z+R)．(2)等于0，计算得到绳子中张力方向与矢量0厅相同，由对称性，设比vr／~1．(13)例系数都为，即(13)式含义是质量比'7越大，半径比r越大，

5、越Tl(3)容易达到平衡位形，这与实际经验相符．如果3个小T2一O2H—(一，h+y)．球完全一样，那么(13)式取等号，这就意味着3球平两球的相互作用力方向与矢量0相同，由对称衡问题只能取一种平衡位形，与文献[1]的结论性，设比例系数都为，即一致．一96一接下来讨论4球问题，设第4个球的球t2,O为7hx一再(21)圆点，坐标为(O，0，0)，半径为r，质量为．前3个球半径为R，质量为M，球心0l，02，坐标分别为考虑实际约束条件，第4个小球碰不到绳子，即d>r，或者(x,0,-y，，(一专，，～)，(一号，一一)．37]xy~(Z+尺

6、)r．(22)(23)式两边平方，并利用(1)和(2)式，且定义半径天花板上顶点H坐标为(O，0，)，绳子长度为z．体比为r—R／r，那么(23)式化为系侧面投影图可以参考图1．绳子中张力方向与矢量青相同，由对称性，设比例系数都为，即～2上．29。。Y>[。-+-(1q-3q)。]静·(23)T1一一(一，0，hq-)．(14)不等式(24)成立的必要条件是对应的判别式大于两球(第4和第1个球)的相互作用力方向与矢量等于零，计算得到相同，由对称性，设比例系数都为k，即(24)N1一kOOl—k(z，0，一)．(15)4球受力平衡，3个绳子

7、中张力和4个小球重力矢对比(25)和(13)式，说明实际4个小球比理量和为0，即想模型3个小球更加容易达到平衡，这也符合实(O，0，3(+))+(3M~m)g(O，0，一1)一0．际经验．如果4个小球完全一样，那么(25)式成(16)立，这就意味着4球体系可以存在平衡位形，推对第1个小球来说，绳子张力，重力和第4个小球广了文献[1]的结论．各个参数，例如坐标，张力对它的作用力之和为0，即等可以求解(1)，(2)，(19)，(20)得到，不再具体(～，0，h-ky)+忌(z，0，一)十给出．Mg(O，0，一1)一0．(17)由此看来，考虑一

8、个物理问题，我们必须从实由(18)式解得际出发，而不是只研究简化模型，例如实际问题是志一_Mg一4球平衡，而为什么常见题目只考虑3球?还有，．(18)对于理论模型，能不能真的去实验一下，看看会