2018_2019学年高中数学第二章推理与证明2.2.2间接证明课件苏教版.pptx

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1、2.2.2间接证明第2章2.2直接证明与间接证明学习目标1.了解反证法是间接证明的一种基本方法.2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学思考　阅读下列证明过程，若a2＋b2＝c2，则a，b，c不可能都是奇数.证明：假设a，b，c都是奇数，则a2，b2，c2都是奇数，∴a2＋b2为偶数，∴a2＋b2≠c2，这与已知矛盾，∴a，b，c不可能都是奇数.请问上述证法是直接证明吗？为什么？知识点一　间接证明答案　不是直接证明，因为这种证明既不是直接从条件出发，也不是从结论出发.梳理　间接证明不是直接从原命题的条件逐

2、步推得命题成立，像这种的方法通常称为间接证明.就是一种常用的间接证明方法.间接证明还有、等.不是直接证明反证法同一法枚举法王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍.一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动，等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的！他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的.”思考1本故事中王戎运用了什么论证思想？知识点二　反证法答案　运用了反证法思想.思考2反证法解题的实质是什么？答案　否定结论，导出矛盾，从而证明原结论正确.梳

3、理(1)反证法证明过程反证法证明时，要从开始，经过，导致，从而达到(即肯定原命题).(2)反证法证明命题的步骤①——假设不成立，即假定原结论的反面为真.②归谬——从和出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果.③存真——由，断定反设不真，从而肯定原结论成立.否定结论正确的推理逻辑矛盾新的否定命题的结论反设已知条件矛盾结果反设[思考辨析判断正误]1.反证法属于间接证明问题的方法.()2.反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是演绎推理.()3.反证法的实质是否定结论导出矛盾.()×√√题型探究类型一　用反证法证明否定性命题例1已知a，b，c，d∈R，且a

4、d－bc＝1，求证：a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1.证明　假设a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＝1.因为ad－bc＝1，所以a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＋bc－ad＝0，即(a＋b)2＋(c＋d)2＋(a－d)2＋(b＋c)2＝0.所以a＋b＝0，c＋d＝0，a－d＝0，b＋c＝0，则a＝b＝c＝d＝0，这与已知条件ad－bc＝1矛盾，故假设不成立.所以a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1.证明反思与感悟(1)用反证法证明否定性命题的适用类型结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，

5、而反面比较具体，适合使用反证法.(2)用反证法证明数学命题的步骤跟踪训练1已知三个正数a，b，c成等比数列但不成等差数列.求证：∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac，②∴a＝c，从而a＝b＝c.这与已知a，b，c不成等差数列相矛盾，∴假设不成立.证明类型二　用反证法证明“至多、至少”类问题证明例2a，b，c∈(0,2)，求证：(2－a)b，(2－b)c，(2－c)a不能都大于1.证明　假设(2－a)b，(2－b)c，(2－c)a都大于1.因为a，b，c∈(0,2)，所以2－a>0,2－b>0,2－c>0.即3>3，矛盾.所以(2－a)b，(2－b)c，(

6、2－c)a不能都大于1.反思与感悟　应用反证法常见的“结论词”与“反设词”当命题中出现“至多”“至少”等词语时，直接证明不易入手且讨论较复杂.这时，可用反证法证明，证明时常见的“结论词”与“反设词”如下：结论词反设词结论词反设词至少有一个一个也没有对所有x成立存在某个x不成立至多有一个至少有两个对任意x不成立存在某个x成立至少有n个至多有n－1个p或q綈p且綈q至多有n个至少有n＋1个p且q綈p或綈q证明跟踪训练2已知a，b，c，d∈R，且a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1.求证：a，b，c，d中至少有一个是负数.证明　假设a，b，c，d都不是负数，即a

7、≥0，b≥0，c≥0，d≥0.∵a＋b＝c＋d＝1，∴b＝1－a≥0，d＝1－c≥0，∴ac＋bd＝ac＋(1－a)(1－c)＝2ac－(a＋c)＋1＝(ac－a)＋(ac－c)＋1＝a(c－1)＋c(a－1)＋1.∵a(c－1)≤0，c(a－1)≤0，∴a(c－1)＋c(a－1)＋1≤1，即ac＋bd≤1，与ac＋bd>1相矛盾，∴假设不成立，∴a，b，c，d中至少有一个是负数.类型三　用反证法证明唯一性命题证明例3求证：方程2x＝3有且只有一个根.证明　∵2x＝3，∴x＝log23.这说明方程2x＝3有根.下面用反证法证明方程2x＝3的根是唯一的.假

8、设方程2x＝3至少有两个根b1，b2(b1≠b2)，则＝3,＝3，两式相除得＝1