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1、第22卷第2期忻州师范学院学报Vol.22No.22006年4月JOURNALOFXINZHOUTEACHERSUNIVERSITYApr.2006RSA公钥密码算法的研究与实现冯素琴(忻州师范学院,山西忻州034000)摘要:RSA公钥密码算法的基础是欧拉定理,它的安全性依赖于大素数因式分解的困难性。RSA算法通常是先生成一对密钥。文章对生成密钥过程中所需参数进行分析和讨论,并结合实例对RSA公钥密码算法进行了实现。关键词:公钥密码;RSA算法;欧拉定理中图分类号:TP393文献标识码:A文章编号:1671-1491(2006)02-0047-040引言(3)从[0,ф(N)-1]中

2、随机选取加密密钥e,使得e和随着计算机联网的逐步实现,全球正在进入信息经济时ф(N)互为素数。也即gcd(e,ф(N))=1(公开)。代。无论是个人信息通信还是电子商务,都需要保证网上信(4)计算出满足公式ed=1modф(N)的d,d为解密息传输的安全、保密、真实和完整。信息安全的核心是密码密钥。技术,密码技术是集数学、计算机科学、电子与通信等诸多学(5)若用整数X表示明文,整数Y表示密文(X,Y均∧e科于一身的交叉学科,它不仅能够保证机密性信息的加密,小于N),则加解密运算为:加密:Y=XmodN解密:X=∧d而且能够实现数字签名、身份验证、系统安全等功能。当前YmodN。最著名、

3、应用最广泛的公钥系统RSA是一个基于数论的非其中的d和N也互素。e和N是公开密钥,d是秘密对称密码体制,是一种分组密码体制。它的安全性是基于大密钥。两个素数p和q应舍弃,但千万不要泄密。素数因子分解的困难性,而大素数因子分解问题是数学上的2关于因式分解的讨论著名难题,至今没有有效的方法予以解决,因此可以确保RSA的安全性是依赖于因式分解的困难性。n=pq若RSA算法的安全性。被分解,则系统便被攻破,所以对n的选择十分重要,必须1RSA公钥密码算法原理选择好p和q使之分解变得计算上十分困难或者不可能。RSA算法是根据寻求两个大素数比较简单,而将它们2.1p-1因数分解的乘积分解开则极其困

4、难的原理来设计的。为提高保密强假定要对合数n进行因数分解,p是n的某一个因数,度,RSA密钥至少为500位长,一般推荐使用1024位。表1若p-1不存在大的素数因子,则下面方法可用来找出因给出了在计算机每一微秒做一次操作的假定下,分解不同大数p。小的N所需要的时间。(1)选一整数k,要求k为比B小的所有数的倍数,比如表1大素数分解用时统计表k=B!,即k为比B小的所有数的公倍数;(2)在2和n-2之间取一整数,可以是2,也可以3,或N的十进位数5075100200是随机的;15时间3.9时104天74年3.8X10年k(3)利用快速求模幂运算αmodn;具体步骤:(4)利用欧几里得算法

5、和αKmodn计算gcd{αK,n};(1)选取两个大素数p和q。为了获得最大的安全性,(5)若d不是n的非平凡的除数,则由重新选择α和k,两个素数的长度一样。并计算乘积N(N=pq)。转到(1)重新开始。(2)计算出N的欧拉函数ф(N)=(p-1)(q-1),ф由于k被小于B的正整数除尽,p是n的因子,倘若p(N)定义为不超过N并与N互素的数的个数。-1是小于B的素数的幂之积,则k是p-1的倍数,根据收稿日期:2005-09-02作者简介:冯素琴(1971-),女,山西忻州人,忻州师范学院计算机系讲师,硕士,从事人工智能研究。48忻州师范学院学报第22卷KKFermat定理α≡1mo

6、dp,故p

7、gcd{α-1,n}。(2)ф(N)=(p-1)(q-1)=2310=20。K失败的可能仅仅由于α≡1modn所以RSA中的n=(3)从[0,ф(N)-1]中,即,[0,19]之间任意选取加密pq,p和q必须附加上它的p-1和p+1的所有因数,一般密钥e=3,且e和ф(N)互素。要求p的长度大于512比特,p-1至少有大素数因子q,q(4)从公式ed=1modф(N)求出解密密钥d的长度应接近p的长度。由模的定理我们可以将公式ed=1modф(N)转换成2.2关于p和q的讨论形式ed=k3ф(N)+1,即3d=k320+1,将0,1,2,3⋯依若p和q的差很小,显然n=pq

8、≈p2。先估计p≈n次代入k,求出d。取k=1,得d=7。读者可以通过编程实p+q2p-q2p+q2现随机选取p和q来求出相应的N,e,d。≈q再根据()-()=pq=n所以()222(5)进行加密。p-q2p+qp+q-n=(2),2是p和q的平均数,若p≈q,2根据定义,我们首先要根据N的值对明文进行分组,每p-q2个分组的值应小于N。如果要加密固定的消息分组,那么≈n,可给一估计值,若为…p,使…p-n=()右端正好2可以在它的左边填充一

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