什么是有限元方法基本思想是什么基本步骤

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1、回顾第一讲什么是有限元方法？基本思想是什么？基本步骤是什么？单元分析时的基本数学方法有哪些？第二讲弹性力学平面问题的有限单元法1、有限单元法的计算步骤2、平面问题的常应变(三角形)单元3、单元刚度矩阵4、单元刚度矩阵的物理意义及其性质5、平面问题的矩形单元6、六节点三角形单元7、单元载荷移置8、整体分析9、整体刚度矩阵的形成10、支承条件的处理11、整体刚度矩阵的特点1有限单元法的计算步骤一、有限元法的基本思想假想的把一连续体分割成数目有限的小体（单元），彼此间只在数目有限的指定点（结点）出相互连结，组成一个单元的集合体以代替原来的连续体，再在结点上引进等效力以代替实际作用于单元上的外力。

2、选择一个简单的函数来近似地表示位移分量的分布规律，建立位移和节点力之间的关系。有限元法的实质是：把有无限个自由度的连续体，理想化为只有有限个自由度的单元集合体，使问题简化为适合于数值解法的结构型问题。二、有限元法算题的基本步骤1.力学模型的选取（平面问题，平面应变问题，平面应力问题，轴对称问题，空间问题，板，梁，杆或组合体等，对称或反对称等）例如：yx为平面应力问题，由于结构的对称性可取结构的1/4来研究，故所取的力学模型2.单元的选取、结构的离散化根据题目的要求，可选择适当的单元把结构离散化。对于平面问题可用三角单元，四边单元等。例如：3.选择单元的位移模式结构离散化后，要用单元内结

3、点的位移通过插值来获得单元内各点的位移。在有限元法中，通常都是假定单元的位移模式是多项式，一般来说，单元位移多项式的项数应与单元的自由度数相等。它的阶数至少包含常数项和一次项。至于高次项要选取多少项，则应视单元的类型而定。efNf——单元内任一点的位移列阵；e——单元的结点位移列阵；N——单元的形函数矩阵；（它的元素是任一点位置坐标的函数）4.单元的力学特性分析把上式代入几何方程可推倒出用单元结点位移表示的单元应变表达式：eB式中：——单元内任一点应变列阵；B——单元的应变矩阵，它的元素仍为位置坐标的函数再把上式代入物理方程，可导出

4、用单元结点位移列阵表示的单元应力表达式：eDB式中：——单元内任一点的应力列阵；D——单元的弹性矩阵，（它与材料的特性有关）最后利用弹性体的虚功方程建立单元结点力阵与结点位移列阵之间的关系，即形成单元的刚度方程式：eeeRk——单元刚度矩阵式中：eTkBDBdxdydzv5.建立整体结构的刚度方程ee用直接刚度法将单刚k组集成总纲K，并将R组集成总载荷列阵R，形成总体结构的刚度方程：KR6.求解修改后的整体结构刚度方程考虑整体结构的约束情况，修改整体刚度方程之后上式就变成以结点位移为未知

5、数的代数方程组。解此方程组可求出结点位移。7.由单元的结点位移列阵计算单元应力解出整体结构的结点位移列阵后，再根据单元结点ee的编号找出对应于单元的位移列阵，将代入就可求出各单元的应力分量值。8.计算结果输出求解出整体结构的位移和应力后，可有选择地整理输出某些关键点的位移值和应力值，特别要输出结构的变形图、应力图、应变图、结构仿真变形过程动画图及整体结构的弯矩、剪力图等等。2平面问题的常应变(三角形)单元有限单元法的基础是用所谓有限个单元的集合体来代替原来的连续体，因而必须将连续体简化为由有限个单元组成的离散体。对于平面问题，最简单，因而最常用的单元是三角形单元。因平面问

6、题的变形主要为平面变形，故平面上所有的节点都可视为有两个自由度。2平面问题的常应变(三角形)单元离散化假设采用三角形单元，把弹性体划分为有限个互不重叠的三角形。这些三角形在其顶点（即节点）处互相连接，组成一个单元集合体，以替代原来的弹性体。同时，将所有作用在单元上的载荷（包括集中载荷、表面载荷和体积载荷），都按虚功等效的原则移置到节点上，成为等效节点载荷。由此便得到了平面问题的有限元计算模型，如图1所示。图1弹性体和有限元计算模型yvj(Vj)juj(Uj)vi(Vi)um(Um)iui(Ui)mum(Um)ox图2平面三角形单元2平面问题的常应变(三角形)单元1、位移函数如果弹性体的位移

7、分量是坐标的已知函数，则可用几何方程求应变分量，再从物理方程求应力分量。但对一个连续体，内部各点的位移变化情况很难用一个简单函数来描绘。有限单元法的基本原理是分块近似，即将弹性体划分成若干细小网格，在每一个单元范围内，内部各点的位移变化情况可近似地用简单函数来描绘。对每个单元，可以假定一个简单函数，用它近似表示该单元的位移。这个函数称为位移函数，或称为位移模式、位移模型、位移场。对于平面问题，单元位移函数可以用多项式表示