2019_2020学年高中数学第三章函数3.1.2函数的单调性课件新人教B版.pptx

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1、3.1.2函数的单调性一二三知识点一、函数单调性的概念1.思考一二三(3)若把增、减函数定义中的“任意x1,x2”改为“存在x1,x2”可以吗?提示:不可以,如图:虽然Δx=2-(-1)>0,Δy=f(2)-f(-1)>0,但f(x)在[-1,2]上并不是单调函数.因此“任意”两字不能忽视,更不能用“特殊”取代.为了方便也可将定义改为:如果对于属于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1≠x2时,总有,那么就说函数f(x)在区间D上是增(减)函数.一二三2.填空一般地,设函数y=f(x)的定义域为A,且M⊆A.(1)如果对任意x1,x2∈M,当x1

2、)f(x2),则称y=f(x)在M上是减函数(也称在M上单调递减),如图(2)所示.如果一个函数在M上是增函数或是减函数,就说这个函数在M上具有单调性(当M为区间时,称M为函数的单调区间).一二三3.做一做已知四个函数的图像如图所示,其中在定义域内具有单调性的函数是()答案:B一二三4.“函数f(x)的单调增(减)区间是D”与“函数f(x)在区间D上是增(减)函数”是否相同?提示:不相同.函数f(x)的单调增(减)区间是D,这一说法意味着

3、除D之外,函数f(x)再无其他单调增(减)区间.函数f(x)在区间D上是增(减)函数,则意味着区间D是函数f(x)的单调增(减)区间的子区间,即除区间D外,函数f(x)还可能有其他的单调增(减)区间.一二三5.做一做已知函数y=f(x)的图像如图所示,则函数的单调减区间为.一二三知识点二、判断函数单调性的步骤利用定义证明函数f(x)在给定的区间M上的单调性的一般步骤:(1)任取x1,x2∈M,且Δx=x2-x1>0;(2)作差:Δy=f(x2)-f(x1);(3)变形(通常所用的方法有:因式分解、配方、分子有理化、分母有理化、通分等);(4)定号(即判断Δy的正负);(5)下结论(即指出函

4、数f(x)在给定的区间M上的单调性).一二三知识点三、函数的平均变化率探究一探究二探究三思维辨析当堂检测用定义法证明(判断)函数的单调性例1利用单调性的定义证明函数在(-∞,0)内是增函数.分析:解题的关键是对Δy=f(x2)-f(x1)合理变形,最终要变为几个最简单因式乘积或相除的形式,以便于判号.证明设x1,x2是(-∞,0)内的任意两个值,且x10,探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟证明函数的单调性的步骤1.取值:设x1,x2为给定区间内任意的两个值,且x1

5、证明时,不能用特殊值来代替它们);2.作差变形:作差Δy=f(x2)-f(x1),并将差向有利于判断差值的符号的方向变形(作差后,尽量把差化成几个简单因式的乘积或几个完全平方式的和的形式,这是值得学习的解题技巧,在判断因式的正负号时,经常采用这种变形方法);3.定号:判断符号的依据是自变量的取值范围、假定的大小关系及符号的运算法则;4.判断:根据定义作出结论(若Δx=x2-x1与Δy=f(x2)-f(x1)同号,则函数在给定区间是增函数;异号,则是减函数).探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测利用图像求函数的单调区间例2已知x∈R,函数f(x)=x

6、x-2

7、

8、,试画出y=f(x)的图像,并结合图像写出函数的单调区间.分析:首先分类讨论,去掉绝对值号,将函数化为分段函数,然后画出图像求解即可.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟图像法求单调区间的关注点1.由函数的图像得出单调区间是常用的一种方法,但一定要注意画图的准确性及端点处的处理.若函数的定义域内不含端点,则要写成开区间;若端点在其定义域内,则写成开区间或闭区间均可,但最好加上区间端点.2.初中学过的一次函数、二次函数、反比例函数的单调区间可以作为常用结论,在某些题目中可以直接使用.3.常见的加绝对值的函数有两种,一种是y=f(

9、x

10、),自变量上加绝对值;另一种是y=

11、f(x)

12、,函数

13、值上加绝对值.4.加绝对值的函数图像的两种画法:(1)通过讨论绝对值内的式子的正负,去掉绝对值符号,把函数化为分段函数,再依次画出分段函数每一段的函数图像.(2)利用函数图像的变换,即通过图像间的对称变换,得到已知函数的图像.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测函数单调性的简单应用例3(1)已知函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上是减函数,求实数a的取值范围;(2)已知函数g(x)在R上为增函数,且g