圆锥曲线中“焦点三角形”有关问题的研究.pdf

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1、_窆％颧／I6跷馈一缓，岛粥中学数学杂志2009年第5期圆锥曲线中“焦点三角形"有关I闭题的研究安徽省贵池中学247000吴成强所谓圆锥曲线的“焦点三角形”，指的是三角形b>0)的左、右焦点，以F为直径的圆与双曲线的两个顶点是圆锥曲线的两个焦点，另一个顶点在交于不同的四点，顺次连结焦点和这四点恰好组成圆锥曲线上，这样的三角形中有许多有趣而又值得一个正六边形，则该双曲线的离心率为(C)研究的问题．圆锥曲线的两个焦点好比一双“明亮A．在B．C．+、D．的眼睛”，如果涉及到一个焦点，那么往往还须考虑另一个焦点．解决有关“焦点三角形”的问题，往往解如图2，根据题意l＼尸／需要利用圆锥

2、曲线的定义，这样使问题的解决变得易知APF。F为直角三角简捷而又富有灵性，高考中非常注重对“焦点三角形，且FlP2=90。，形”的考查，现就“焦点三角形”的有关问题作一些／PF2F1=30。／＼研究．所以lPF2I=√3c，I1有关离心率问题PFll=C，又lPF2I—IPFl图2有关离心率问题，往往是求出离心率或离心率I=2a的范围，解决这类问题常常需要利用圆锥曲线定义，所以√3c—c=2a，所以=：=+1并综合运用其它知识．a,／3—-1例1如图1，已知P是J即离心率e=√3+1，选c．椭圆+=1(n>b>o)／，／一评注：本题的解法关键是利用双曲线定义，这道aD题可变化

3、很多题，如2007年安徽卷理(9)题就是其上的一点，F、F是两焦点，．变式题，椭圆也有类似的结论．／_PFlF2=Ol，／_PF2Fl=图1变式题1：如图3，F。和J，求椭圆离心率．22，F：分别是双曲线一=解IPFII“U===O-U／F21(a>0，b>0)的两个焦一／!±‘点，A和B是以O为圆心、以sin(~+si以IOFl为半径的圆与该双图3曲线左支的两个交点，且所以：：AF：B是等边三角形，则该双曲线的离心率为acos—(D)。。ABCD1所以离心率e=—l变式题2：以椭圆两焦点为直径的圆交椭圆于∞丁四个点，这四点连同两个焦点恰好构成一个正六边评注：本题是已知“焦点

4、三角形”的两个角，求形的六个顶点，则该椭圆的离心率是(B)其离心率，它用到了正弦定理、等比定理、椭圆的定义及三角函数等有关知识，双曲线也有类似结论，请A．一c．。．读者加以研究．例3已知双曲线一Y2=1(0>0，6>0)的例2已知F、F：是双曲线一告=1(。>0，l所以+口以所：。左、右焦点分别为、，P是准线上的一点，且PF4JPF2J，则此双曲线的离心率e的最大值为(B)上PF，I尸FI-IPF2l=4ab，则该双曲线的离33A．．0c．2D．心率是(B)=所以提示：IPFIC+IePF2f≥fFIA．B．C．2D．322有关面积问题=解如图4，IF。DJI＼C一口2圆锥曲

5、线“焦点三角形”面积问题，常常要根据a=c一——．1F2Dl=c+圆锥曲线的定义以及圆锥曲线的几何性质求解．C1～F。2o例5P为双曲线一=1上的一点，F、FC所以lPDl=lF．D是该双曲线的两个焦点，若lPFI：lPF：I=34图4：2，则APF。F2的面积为(B)I·JF2Dl_c一=CA6,／XB12C12D24b(C+a)2解lPF1l：÷IPF2I，又lPF1I—IPF2I=c所以IPDI：b~2，lPF2l=4，lPF。l=6，又JFlI=2一／蟹c2+a2，又因为lPFlllPF2C所以lPFl+lP2I=IFI，所以：lF1FzIlPDI，所以4ab=2c·

6、b、APF，Fz是以P为直角顶点的直角三角形，所以S=；2a=C{l1．IPF2I：×4×6：12．选．=√3．选B．评注：本题利用了双曲线的第一定义．评注：本题综合运用了三角形的有关性质．例6如图6，设P是尸／一。，／。一分别是椭圆a+=1(口／／／~PjD·—1．———{—-=T-—，目R——————r=：r—-，>0，b>0)的左、右焦点，＼—斗lA(0，](o']e))2a=—c，因为}PFzI≥IF2H22所以2c≥a—cN1：23c≥。，所以≥了12詈，，。。昙2C力JjNI：2c≥a．)，所以譬j≤e<1变式题：已知双曲线一鲁=1的左、右焦点分(2)双曲线中也有

7、类似结论，P为双曲线上一ao点，则Js=b2eot0别为F。、，点P在双曲线右支上，且IJPF．I=．17(3)本题的结论应记住，记住有关结论，就能提b>0)的左准线为z，左焦点和右焦点分别为F，和高我们解题的起点．F2，抛物线C的准线为z，焦点为F：，C与C的一个例7过椭圆x+=1a>b>0)中心的交点则一直线与椭圆交于A、日两点，右焦点为(c,O)，则A．一lB．1c．一号AABF：的最大面积是(C)4．口6B．0cC．bcD．b解根据图形的对称性，S△B=S△A，l≤寺2aM·2c·b：bc，选C