数学建模 双层玻璃的功效.pdf

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1、数学建模入门——双层玻璃窗的功效双层玻璃的功效北方城镇的有些建筑物的窗户是双层的，即窗户上装两层厚度为d的玻璃夹着一层厚度为l的空气，如左图所示，据说这样做是为了保暖，即减少室内向室外的热量流失。我们要建立一个模型来描述热量通过窗户的热传导（即流失）过程，并将双层玻璃窗与用同样多材料做成的单层玻璃窗（如右图，玻璃厚度为2d）的热量传导进行对比，对双层玻璃窗能够减少多少热量损失给出定量分析结果。一、模型假设1、热量的传播过程只有传导，没有对流。即假定窗户的密封性能很好，两层玻璃之间的空气是不流动的；2、室内温度T和室外温度T保持不变，热传导过程已处于稳定12状态，即沿热传

2、导方向，单位时间通过单位面积的热量是常数；3、玻璃材料均匀，热传导系数是常数。1数学建模入门——双层玻璃窗的功效二、符号说明T——室内温度1T——室外温度2d——单层玻璃厚度l——两层玻璃之间的空气厚度T——内层玻璃的外侧温度aT——外层玻璃的内侧温度bk——热传导系数Q——热量损失三、模型建立与求解由物理学知道，在上述假设下，热传导过程遵从下面的物理规律：厚度为d的均匀介质，两侧温度差为T，则单位时间由温度高的一侧向温度低的一侧通过单位面积的热量为Q，与T成正比，与d成反比，即TQk（1）d其中k为热传导系数。1、双层玻璃的热量流失记双层窗内窗玻璃的外侧温度为

3、T，外层玻璃的内侧温度为T，ab玻璃的热传导系数为k，空气的热传导系数为k，由（1）式单位时12间单位面积的热量传导（热量流失）为：TTTTTT1aabb2Qkkk（2）121dddT1TaTbT2Qd由Qk及Qk可得TT(TT)211ab12ddk1TTab再代入Qk就将（2）中T、T消去，变形可得：2abd2数学建模入门——双层玻璃窗的功效k(TT)kl1121（3）Q,sh,hds2kd22、单层玻璃的热量流失对于厚度为2d的单层玻璃窗户，容易写出热量流失为：TT12Qk（4）12d3、单层玻璃窗和双层玻璃窗热量

4、流失比较Q2比较（3）（4）有：（5）Qs2显然，QQ。为了获得更具体的结果，我们需要k,k的数据，从有关资料可12知，不流通、干燥空气的热传导系数4k2.510（焦耳/厘米.秒.度），2常用玻璃的热传导系数33k410~810（焦耳/厘米.秒.度），于是1k116~32k2在分析双层玻璃窗比单层玻璃窗可减少多少热量损失时，我们k作最保守的估计，即取116，由（3）（5）可得：k2Q1lh（6）Q8h1d4、模型讨论比值QQ反映了双层玻璃窗在减少热量损失上的功效，它只与hld有关，下图给出了QQ~h的曲线，当h由0增加时，QQ

5、迅速下降，而当h超过一定值（比如h4）后QQ下降缓慢，可见h不宜选得过大。3数学建模入门——双层玻璃窗的功效四、模型的应用这个模型具有一定的应用价值。制作双层玻璃窗虽然工艺复杂会增加一些费用，但它减少的热量损失却是相当可观的。通常，建筑规范要求hld4。按照这个模型，QQ3%，即双层玻璃窗比用同样多的玻璃材料制成的单层窗节约热量97%左右。不难发现，之所以有如此高的功效主要是由于层间空气的极低的热传导系数k，而这要求空气是干燥、不流通的。作为模型假设的这个条件在2实际环境下当然不可能完全满足，所以实际上双层玻璃窗的功效会比上述结果差一些。4