抛物线知识点归纳总结与经典习题.docx

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1、.抛物线经典结论和例题y22pxy22pxx22pyx22py(p0)(p0)(p0)(p0)抛yyyylll物FOxOFxFOx线OxFl平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫定义做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线。{MMF=点M到直线l的距离}范围x0,yRx0,yRxR,y0xR,y0对称性关于x轴对称关于y轴对称(p,0)(p,0)(0,p)(0,p)焦点2222焦点在对称轴上顶点O(0,0)离心率e=1准线pppypxxy2222方程准线与焦点位于顶点

2、两侧且到顶点的距离相等。p顶点到准2..线的距离焦点到准线的距离焦半径A(x1,y1)焦点弦长ABppAFppAFpAFx1x1AFy1y12222(x1x2)p(y1y2)p(y1y2)p(x1x2)pyAx1,y1oFxBx2,y2焦点弦AB的几条性质A(x1,y1)以AB为直径的圆必与准线l相切B(x2,y2)若AB的倾斜角为，则AB2p若AB的倾斜角为2psin2，则ABcos2x1x2p2y1y2p2411AFBFAB2AFBFAFBFAFBFp..切线y0yp(xx0)y0yp(xx

3、0)x0xp(yy0)x0xp(yy0)方程1.直线与抛物线的位置关系直线，抛物线，，消y得：（1）当k=0时，直线l与抛物线的对称轴平行，有一个交点；（2）当k≠0时，＞0，直线l与抛物线相交，两个不同交点；=0，直线l与抛物线相切，一个切点；＜0，直线l与抛物线相离，无公共点。（3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定）2.关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法直线l：ykxb抛物线，(p0)①联立方程法：ykxb2(kbp)xb20y2k2x22px设交点坐标为

4、Ax1,y1),B(x2,y2)，则有0,以及x1x2,x1x2，还可进一步求出(..y1y2kx1bkx2bk(x1x2)2b，y1y2(kx1b)(kx2b)k2x1x2kb(x1x2)b2在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如a.相交弦AB的弦长AB1k2x1x21k2(x1x2)24x1x21k2a或AB11y211(y1y2)24y1y21k2k2y1k2ab.中点M(x0,y0),x0x1x2，y0y1y222②点差法：设交点坐标为A(x1,y1)，B(x2,y2)，代入

5、抛物线方程，得22px122px2将两式相减，可得y1y2(y1y2)(y1y2)2p(x1x2)所以y1y22px1x2y1y2a.在涉及斜率问题时，kAB2py1y2b.在涉及中点轨迹问题时，设线段AB的中点为M(x0,y0)，y1y22p2pp，即kABp，x1x2y1y22y0y0y0同理，对于抛物线x22py(p0)，若直线l与抛物线相交于A、B两点，点x1x22x0x0M(x0,y0)是弦AB的中点，则有kAB2pp2p（注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直

6、线的斜率存在，且不等于零）..一、抛物线的定义及其应用例1、设P是抛物线y2＝4x上的一个动点．(1)求点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值；(2)若B(3,2)，求

7、PB

8、＋

9、PF

10、的最小值．例2、设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以FFM为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是()为圆心、

11、

12、A．(0,2)B．[0,2]C．(2，＋∞)D．[2，＋∞)二、抛物线的标准方程和几何性质例3、抛物线y2＝2px(p>0)的焦点

13、为F，准线为l，经过F的直线与抛物线交于A、B两点，交准线于C点，点A在x轴上方，AK⊥l，垂足为K，若

14、BC

15、＝2

16、BF

17、，且

18、AF

19、＝4，则△AKF的面积是()A．4B．33C．43D．8例4、过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A、B，交其准线l于点C，若

20、BC

21、＝2

22、BF

23、，且

24、AF

25、＝3则此抛物线的方程为()3B．y2＝9x9D．y2＝3xA．y2＝xC．y2＝x22三、抛物线的综合问题例5、已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A(x1

26、，y1)，B(x2，y2)(x1

27、AB

28、＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若OC＝OA＋λOB，求λ的值．..例6、已知平面内一动点P到点F(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1.(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1，l2，设l1与轨迹C相交于点A，B，l2与轨迹C相交于点D，E，求AD·EB的最小值例7、已知点M(1，y)在抛物线C：y2＝2px(p>0)上，M点到抛物线C的焦点F1的