初中数学九大几何模型.docx

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1、.初中数学九大几何模型一、手拉手模型----旋转型全等D（1）等边三角形OOCEDECA图1BA图2B【条件】：△OAB和△OCD均为等边三角形；【结论】：①△OAC≌△OBD；②∠AEB=60°；③OE平分∠AEDD（2）等腰直角三角形DOCOEECA图1BAB图2【条件】：△OAB和△OCD均为等腰直角三角形；【结论】：①△OAC≌△OBD；②∠AEB=90°；③OE平分∠AED（3）顶角相等的两任意等腰三角形DOOC【条件】：△OAB和△OCD均为等腰三角形；DE且∠COD=∠AOBE【结论】：①△OAC≌△OBD；C②∠AEB=∠AOB；③OE平分∠AEDA图1BA图2B..二、模

2、型二：手拉手模型----旋转型相似OO（1）一般情况D【条件】：CD∥AB，CDE将△OCD旋转至右图的位置CABAB【结论】：①右图中△OCD∽△OAB→→→△OAC∽△OBD；D②延长AC交BD于点E，必有∠BEC=∠BOAOO（2）特殊情况CCED【条件】：CD∥AB，∠AOB=90°将△OCD旋转至右图的位置ABAB【结论】：①右图中△OCD∽△OAB→→→△OAC∽△OBD；②延长AC交BD于点E，必有∠BEC=∠BOA；③BDODOBtan∠OCD；④BD⊥AC；ACOCOA⑤连接AD、BC，必有AD2BC222；⑥S△BCD1ACBDABCD2A三、模型三、对角互补模型（1）全

3、等型-90°【条件】：①∠AOB=∠DCE=90°；②OC平分∠AOBCDOEB图1【结论】：①CD=CE；②OD+OE=2OC；③S△DCES△OCDS△OCE1OC2A2证明提示：CM①作垂直，如图2，证明△CDM≌△CEND②过点C作CF⊥OC，如图3，证明△ODC≌△FEC※当∠DCE的一边交AO的延长线于D时（如图4）：ONEB图2以上三个结论：①CD=CE；②OE-OD=2OC；A1OC2AMC③S△OCES△OCD2CDONBEO图3EFBD图4..（2）全等型-120°【条件】：①∠AOB=2∠DCE=120°；②OC平分∠AOB【结论】：①CD=CE；②OD+OE=OC；

4、③S△DCESS3OC2△OCD△OCE4证明提示：①可参考“全等型-90°”证法一；②如右下图：在OB上取一点F，使OF=OC，证明△OCF为等边三角形。ACACFFOEBOEFB（3）全等型-任意角ɑ【条件】：①∠AOB=2ɑ，∠DCE=180-2ɑ；②CD=CE；【结论】：①OC平分∠AOB；②OD+OE=2OC·cosɑ；③S△DCES△OCDS△OCEOC2sinαcosα※当∠DCE的一边交AO的延长线于D时（如右下图）：原结论变成：①；②；③。可参考上述第②种方法进行证明。请思考初始条件的变化对模型的影响。ACDAOEBCOEBD..对角互补模型总结：①常见初始条件：四边形对角

5、互补，注意两点：四点共圆有直角三角形斜边中线；②初始条件“角平分线”与“两边相等”的区别；A③注意OC平分∠AOB时，C∠CDE=∠CED=∠COA=∠COB如何引导？DO四、模型四：角含半角模型90°（1）角含半角模型90°---1【条件】：①正方形ABCD；②∠EAF=45°；【结论】：①EF=DF+BE；②△CEF的周长为正方形ABCD周长的一半；也可以这样：【条件】：①正方形ABCD；②EF=DF+BE；【结论】：①∠EAF=45°；ADAFBECGBE（2）角含半角模型90°---2【条件】：①正方形ABCD；②∠EAF=45°；【结论】：①EF=DF-BE；ADADACCEBEB

6、EBFFEBDFCDCF..（3）角含半角模型90°---3【条件】：①Rt△ABC；②∠DAE=45°；【结论】：BD2CE2DE2（如图1）若∠DAE旋转到△ABC外部时，结论BD2CE2DE2仍然成立（如图2）AAFBDECBDFECAADBECDBEC（4）角含半角模型90°变形ADAD【条件】：①正方形ABCD；②∠EAF=45°；HHFF【结论】：△AHE为等腰直角三角形；证明：连接AC（方法不唯一）GG∵∠DAC=∠EAF=45°，BECBEC∴∠DAH=∠CAE，又∵∠ACB=∠ADB=45°；∴△DAH∽△CAE，∴DAACAHAE∴△AHE∽△ADC，∴△AHE为等腰

7、直角三角形模型五：倍长中线类模型（1）倍长中线类模型---1【条件】：①矩形ABCD；②BD=BE；③DF=EF；【结论】：AF⊥CFADADFFBCEHBEH..模型提取：①有平行线AD∥BE；②平行线间线段有中点DF=EF；可以构造“8”字全等△ADF≌△HEF。（2）倍长中线类模型---2【条件】：①平行四边形ABCD；②BC=2AB；③AM=DM；④CE⊥AB；【结论】：∠EMD=3∠MEA辅助线：