不确定随机事件机会测度的弱可数次可加性及其应用

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1、第30卷第4期苏州科技学院学报(自然科学版)V01．30No．42013年l2月JournalofSuzhouUniversityofScienceandTechnology(NaturalScience)——Dec．2013不确定随机事件机会测度的弱可数次可加性及其应用王静，吴健荣(苏州科技学院数理学院，江苏苏州215009)摘要：主要讨论不确定随机事件机会测度的一些性质。证明了其具有弱可数次可加性、零可加性、双零渐近可加性和连续性，并给出了不确定随机变量序列的几个收敛概念和收敛定理。关键词：不确定随机变

2、量；机会测度；弱可数次可加性；收敛定理中图分类号：0177．91MR(2000)SubjectClassification：46G12文献标识码：A文章编号：1672—0687(2013)04—0015—05为处理复杂系统中的不精确、不完全和不确定的信息，刘宝碇}l】提出了不确定性的概念。经过多年的探索，不确定性理论得到了快速的发展和完善，尤其是公理化方法的建立，使得不确定理论形成了一门严谨的数学分支[2-】01。随着研究的深入，各种混合不确定现象得到了越来越多的关注和研究。例如，针对同一个系统中同时出现不

3、确定性和随机性现象的事实，刘郁涵和李平科圆提出了不确定随机变量的概念，以此同时描述事物的不确定性和随机性，取得了比较好的效果。在该文中刘郁涵和李平科还给出了不确定随机变量的机会测度、机会分布、期望值和方差的概念，并证明了机会测度的一些最基本的性质。笔者将对不确定随机变量作进一步的研究，特别是证明了不确定随机变量机会测度的弱次可加性，以此为基础，得到了不确定随机变量机会测度的零可加性、双零渐近可加性和连续性，并给出了不确定随机变量序列依机会测度收敛和依阶矩收敛的定义和收敛定理。1预备知识定义1【l】设(r，)

4、是可测空间，若：—满足：(1)规范性州r}=1；(2)单调性M{A。)≤M{A：)，若A-C_Az；(3)自偶性】+}，YA∈L；∞(4)可数次可加性对于任意的可数事件列(A)，都有M{UAi)≤∑M{A)。li=1则称是不确定测度，(r，，)是不确定测度空间；中的元素也称为不确定事件。注：在文献【1】中，M满足(1)、(3)、(4)即可；(2)可由(1)、(3)、(4)推出。定义2[2]不确定变量是从不确定空间(r，，)到实数集的可测函数，就是对任意的上的任何Borel集B，集合{∈B}：{∈rlg,(y

5、)∈B}是一个不确定事件。[收稿日期】2012-10-22【基金项目】国家自然科学基金资助项目(11371013)[作者简介】王~(1986一)，男，江苏盐城人，硕士研究生，研究方向：泛函分析。通讯联系人：吴健荣(1963一)，男，教授，硕士生导师，E—mail：jrwu@mail．usts．edu．cn。16苏州科技学院学报(自然科学版)2013正(r，L，)上的不确定变量全体记为(r，L，)。定义3t21设(Q，∑，Pr)为概率空间，(r，，)为不确定空间。不确定随机变量是从概率空间(n，∑，Pr)到(

6、r，L，M)的映射，使得M{()∈对于上的任何Borel集B上是关于∞的可测函数。除非特别说明，文中(r，，肘)和(Q，∑，Pr)总是分别表示不确定测度空间和概率空间，并常简记为r和Q。不确定随机变量总是定义在(Q，∑，Pr)上，取值于(r，L，M)中。定义4嘲设是一个不确定随机变量，且曰是一个实数Borel集。那么不确定随机事件∈B的机会测度被定义为1rc{∈)=JPr{w∈Ql倍()∈B)≥r}dr文献【2】证明了机会测度满足下列3个基本性质：(1)规范性C僖∈}=1；(2)单调性C{∈Bt)≤{∈B2

7、J，若BCB2；(3)自偶性C{∈B}+C{∈Bq=l。定义5【2】设是一个不确定随机变量，则的期望值定义为∞0frE圈=Jc{≥r}dr-『c{≤r}dr∞0其中f{≥，}dr和f倍≤)dr至少有一个是有限的。一2机会测度的可加性和连续性首先，证明不确定随机变量机会测度的弱可数次可加性。定理1(弱可数次可加性)对任意的Borel集列{B}和不确定随机变量，V>0，有Ch{~eU)≤∑Ch{~eB}其中，=1。特别地V，／3>0有{∈Bu曰)≤C{∈B。}{∈B：)，其中1／a+l／fl=l。证明只需证明第

8、一个结论。因为{{0．9∈nl∑{(∞)∈B}≥r)U{∈Ql{()∈B)≥上r)}i=li=l所以11∞∞∞．{∈Ul日}=：fPr{~o∈QI{()∈UllB)≥r}dr≤』!Pr{w∈121∑{((cJ)∈B}≥，}dr≤一111∞．』Pr{~o~121{()∈)≥r)dr=』Pr{w~121{(∞)∈B}≥r}dr≤1∞∑Pr{to∈nI()∈BJI>r】dr=∑∈}i=l0i=l第4期王静，等：不确定随