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1、数模论文-蚂蚁爬绳问题用极限思想解蚂蚁爬绳问题摘要：木问题研究的是一类似于俩者追及的问题，问题是蚂蚁是否能爬到的绳子的另一端，如果能爬到，爬到的时间是多少。本模型通过时间和位移比例的关系，对离散型和间断型建立累加求和方程，对连续型建立微分求和方程,通过求解方程是否有根來判定蚂蚁是否能爬到终点，通过c语言编程来判定蚂蚁达到终点时的时间。最后结果显示，蚂蚁是能爬到绳子的另一端。木文通过建立函数模型，定量计算问题，从而较准确的反映问题的实际，进而解决问题。对于今后类似的极限问题有一定的参考价值。关键词：函数模型，积分，时间，比例1问题的重述一橡皮
2、绳长20个单位，蚂蚁从左往右爬，每秒一个单位，绳子每秒仲长三个单位。按一下三种情况建模：模型离散型A,蚂蚁先爬1单位，绳子再伸三单位；模型连续型B,蚂蚁和绳子一起运动；模型间歇型C,蚂蚁每爬1秒，休息0.05秒，橡皮绳在一•整秒处伸长三个单位。2问题分析由于绳子和蚂蚁的运动方向是同向，这可归结于一个追及问题。当为离散型或间歇型时，蚂蚁爬时，绳子不动，绳子动时，蚂蚁可以跟着绳子往前按比例向前，这也就意味蚂蚁运动的距离占绳子长度的比例是先增，再不变，再增，再不变……照这样下去，只要时间、体力允许，就一定能爬到终点；对于连续型问题，蚂蚁运动的距离
3、占绳子长度的比例是一直增加，同理可得蚂蚁--样能爬到终点。3问题假设1、蚂蚁有充足的能量，能无限量的爬行。2、绳子能无限均匀的延伸。3、绳子的左端不动。4、蚂蚁和绳子之间有足够人的摩擦力，使得绳子伸长吋能带动蚂蚁等比例的增加。4建立模型模型离散型A对问题分析后，把问题转化为对蚂蚁运动的距离占绳子总长的比例求和，川a来表示总比例值，用b來表示绳子的总长，时间用t表示。当t为奇数时,b=20+(t-l)/2*3.当t为偶数时,b=20+(t/2-l)*3.第Is时,沪1/20；第2s时,沪1/20；第3s时,沪1/20+1/23,第4s时,a=
4、1/20+1/23；第5s时,a二1/20+1/23+1/26……如次类推下去，当盯1时，蚂蚁到达终点。当第(2nT)s时，a=,当n增大时，a也增人，说明a关于n是单调递增的/173n)1(nil函数，根据C语言编程得：当n=118时,a=0.997786;当门二119时,a=l.00046,也就是说在第237s到238秒之间(因为第235s末时a的值等于第236s的a,第236s时的a为一定值)肯定有一个时间使得沪1,此时即可证明蚂蚁能爬到终点。对于蚂蚁爬到终点时需要的时间的求解，可列出方程求解设第237s开始后的xs时，蚂蚁到达终点,
5、x*l+0.997786=1,推岀x=0.002(保留到小数点后第三位)。因此在t二2：37.002s吋，蚂蚁达到绳子的右端，问题得到求解。模型连续型B同样按照上述思路，设第ts时，蚂蚁到达绳子的右端。则有方程a=dx,解方程得：203x0tca=ln(3t20)-ln20当t二0时，a二0;此时推出c=-ln20,则有沪In(3t20)(ln203)e-20当沪1时,t=,此时蚂蚁爬到绳子的右端。313131313模型间歇型C由于蚂蚁每爬1秒，休息0.05秒，橡皮绳在一整秒处仲长三个单位。这样为了简化计算，我们把每20s看成一•个整体分析
6、，此时蚂蚁爬了19个单位，橡皮绳伸长57个单位。同样按照离散型的方法逐级累加，则第门个20s时，蚂蚁运动的距离占绳子总长的比例3=,根据C语言编程得：/57n20)19(n1当n二18时，a=0.999328；当n二19时，沪1.01655；这就说明在这俩个时间段内肯定有个时刻使得a=l.这也就证明了蚂蚁能爬到绳子的右端。(360,380)至于具体什么时间也易求得，仔细分析清楚过程就行。存在t,使得蚂蚁爬到绳子的右端。5结论通过上述分析计算论证之后，得岀的结论是：无论三种的哪种情况，蚂蚁均能爬到的绳子的右端。当为离散型时，在时间t二237.
7、002s时蚂蚁到达绳子的右端；当为连续型时，在时间(ln203)e-20(360,380)t二时蚂蚁到达绳子的右端；当为间歇型时，在时间t内的某一时刻3蚂蚁到达绳子的右端。6参考文献1iask.sina/b/18295928.htrnl,2011-01-1717:58.
