有偏卡尔曼滤波及其算法_李永明

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1、第４１卷第７期武汉大学学报·信息科学版Ｖｏｌ．４１Ｎｏ．７２０１６年７月ＧｅｏｍａｔｉｃｓａｎｄＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎＳｃｉｅｎｃｅｏｆＷｕｈａｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙＪｕｌｙ２０１６ＤＯＩ：１０．１３２０３／ｊ．ｗｈｕｇｉｓ２０１４００７２文章编号：１６７１－８８６０（２０１６）０７－０９４６－０６有偏卡尔曼滤波及其算法李永明１１１１归庆明顾勇为韩松辉１信息工程大学理学院，河南郑州，４５０００１摘要：从理论角度分析了观测矩阵的复共线性对卡尔曼滤波的影响，并在均方误差最小意义下，给出了一种有偏卡尔曼滤波算法。分别对观测矩阵和观测量施加

2、扰动进行了试验和分析，证明观测矩阵的病态性会对卡尔曼滤波估计造成严重危害。数值模拟结果表明，本文算法能够有效改善观测矩阵病态性对卡尔曼滤波估计的影响，提高解算质量。关键词：卡尔曼滤波；病态性；均方误差；有偏卡尔曼滤波中图法分类号：Ｐ２０７文献标志码：Ａ卡尔曼滤波自１９６０年被提出以来，便迅速发展为动态数据处理常用的方法之一，特别是在大１卡尔曼滤波算法及其病态性分析地测量以及ＧＰＳ定位定轨等方面得到了广泛的［１］应用。卡尔曼滤波采用递推算法，即由参数的１．１卡尔曼滤波模型验前估计和新的观测数据进行状态参数的更新，卡尔曼滤波模型中有两个

3、基本方程，称为状如此卡尔曼滤波一般只需存储前一个历元的状态态方程和观测方程，分别为：参数估计，无须存储所有的历史观测信息，显然卡Ｘｋ＝Фｋ，ｋ－１Ｘｋ－１＋Ｗｋ－１（１）尔曼滤波具有较高的计算效率，并可进行实时估Ｚｋ＝ＨｋＸｋ＋Ｖｋ［２］计。但当观测矩阵呈现复共线性时，卡尔曼滤式中，Ｘｋ为ｐ×１维向量，表示ｔｋ时刻的状态；Ｚｋ［３，４］波状态估计的精度会受到很大的影响。为了为ｎ×１维向量，是ｔｋ时刻对状态Ｘｋ的观测；克服病态性影响，提高解的质量，一些学者给出了Фｋ，ｋ－１为ｐ×ｐ维非奇异矩阵，是ｔｋ－１时刻至ｔｋ时［５－９］刻的一步

4、状态转移矩阵；Ｈ为ｎ×ｐ观测矩阵；改进算法，但这些算法都受限于先验信息的确ｋ定或者某些特定模型的构建，不能有效解决标准Ｗｋ－１是系统噪声序列；Ｖｋ是观测噪声序列。卡尔曼滤波模型的病态性问题。文献［９］提出了同时，Ｗｋ和Ｖｋ满足）＝Ｅ（ＷＴ）＝Ｑ一种卡尔曼滤波（ｂｉａｓｅｄＫａｌｍａｎｆｉｌｔｅｒ，ＢＫＦ）的Ｅ（Ｗｋ）＝０，Ｃｏｖ（Ｗｋ，ＷｊｋＷｊｋδｋｊ烌）＝Ｅ（ＶＴ）＝Ｒ改进算法。但这种算法仅仅针对观测矩阵是病态Ｅ（Ｖｋ）＝０，Ｃｏｖ（Ｖｋ，ＶｊｋＶｊｋδｋｊ烍性的某一时刻对卡尔曼滤波状态估计进行了改）＝Ｅ（ＷＴ）＝Ｃｏｖ（Ｗｋ，

5、ＶｊｋＶｊ０烎进，而没有考虑到卡尔曼滤波是一种递推算法，它（２）的每个递推周期中包含对被估计量的时间更新和式中，Ｑｋ为系统噪声序列的方差阵，假设为非负量测更新两个过程，并包含增益计算回路和滤波定阵；Ｒｋ为观测噪声序列的方差阵，假设为正定［８］计算回路两个计算回路，上一个递推周期中观阵；δｋｊ为Ｋｒｏｎｅｃｈｅｒ－δ函数。测矩阵的病态性会对下一个周期的滤波值造成持１．２卡尔曼滤波基本方程［１，２］续性的危害，所以ＢＫＦ并不是一种克服病态性的按照卡尔曼滤波的基本原理，在ｔｋ时刻完整滤波算法。本文给出了一种完整的有偏卡尔Ｘｋ的估计＾Ｘｋ按

6、下述方程求解：曼滤波算法，称之为有偏卡尔曼滤波，它在均方误状态一步预测差最小意义下优于卡尔曼滤波，并且在实际应用＾Ｘｋ／ｋ－１＝Фｋ，ｋ－１＾Ｘｋ－１（３ａ）中取得了良好的效果。状态估计收稿日期：２０１４－１０－１３项目资助：国家自然科学基金（４０９７４００９，４１１７４００５，４１４７４００９）。第一作者：李永明，硕士，研究方向为动态测量数据处理。ｋｅｅｐｍｉｎｇ＠１６３．ｃｏｍ第４１卷第７期李永明等：有偏卡尔曼滤波及其算法９４７＾Ｘ＾Ｘ（Ｚ＾Ｘ）（３ｂ）２ｔｒ（Ｐ２２ｋ＝ｋ／ｋ－１＋Κｋｋ－Ｈｋｋ／ｋ－１ＭＳＥ（＾ＸＢｋ）＝αｋ

7、ｋ）＋（αｋ－１）‖Ｘｋ‖滤波增益阵对均方误差ＭＳＥ（＾ＸＢｋ）求导并令导数为零，得：Τ（ＨΤ）－１（３ｃ）‖Ｘ２Κｋ＝Ρｋ／ｋ－１ＨｋｋΡｋ／ｋ－１Ｈｋ＋Ｒｋαｋ‖ｋ＝２ｔｒ（Ｐｋ）＋‖Ｘｋ‖一步预测误差方差阵当式中‖Ｘ２未知时，用‖＾Ｘ２代替，其中Ｔ（３ｄ）ｋ‖ｋ‖Ρｋ／ｋ－１＝Фｋ，ｋ－１Ρｋ－１Φｋ／ｋ－１＋Ｑｋ－１‖·‖表示向量的欧氏范数。估计误差方差阵ＴＴ估计量＾ＸＢｋ的误差方差阵为：Ρｋ＝（Ｉ－ΚｋＨｋ）Ρｋ／ｋ－１（Ｉ－ΚｋＨｋ）＋ΚｋＲｋΚｋＴ］＝ＰＢｋ＝Ｅ［（＾ＸＢｋ－Ｘｋ）（＾ＸＢｋ－Ｘｋ）（３ｅ）（９）２２Ｔ

8、［１０，１１］αｋＰｋ＋（αｋ－１）ＸｋＸｋ式（３（ａ）～３（ｅ））即为卡尔曼滤波基本方程。式中，ＸＴ如果是已知的，可以直接代入计算。，根据ｔｋＸｋ只要给定初始值＾Ｘ０和Ｐ０ｋ时刻的观测量但在大多数情况中ＸＴ是未知的，此时用真值ｋＸｋ