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1、第三章 函数的应用3.1函数与方程3.1.1方程的根与函数的零点课标要求:1.结合二次函数的图象,判断一元二次方程根的存在性及个数.2.理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的联系.3.掌握函数零点的判断方法,会求函数的零点,并会判断零点的个数.自主学习1.函数的零点对于函数y=f(x),把使叫做函数y=f(x)的零点.探究1:函数的零点是函数与x轴的交点吗?答案:不是.函数的零点不是个点,而是一个数,该数是函数图象与x轴交点的横坐标.2.方程、函数、图象之间的关系方程f(x)=0⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x).知识探究f(x)=0的实数x有实数根有零点3.函
2、数零点的存在条件如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是的一条曲线,并且有,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内,即存在c∈(a,b),使得,这个c也就是方程f(x)=0的根.探究2:函数y=f(x)在[a,b]上连续不间断,当f(a)f(b)<0时,函数零点个数是否唯一?答案:不唯一.只有函数y=f(x)在区间[a,b]上是单调函数时函数零点唯一.连续不断f(a)·f(b)<0有零点f(c)=0自我检测A解析:当x≤0时,由f(x)=x2+2x-3=0得x1=-3,x2=1(舍去);当x>0时,由f(x)=-2+lnx=0得x=e2.综上,函数的零点个数为2.故选B.AB
3、答案:24.方程2x=10-x的根x∈(k,k+1),k∈Z,则k=.5.函数f(x)=
4、4x-x2
5、-a恰有3个零点,则实数a=.答案:4题型一求函数的零点课堂探究(2)已知函数f(x)=ax-b(a≠0)的零点为3,求函数g(x)=bx2+ax的零点.方法技巧(1)求函数f(x)的零点就是求方程f(x)=0的解,求解时注意函数的定义域.(2)已知x0是函数f(x)的零点,则必有f(x0)=0.(2)求函数f(x)=x3-2x2-x+2的零点,并画出函数的大致图象.解:(2)令x3-2x2-x+2=0,得x2(x-2)-(x-2)=(x-2)(x2-1)=(x-2)(x+1)(x-
6、1)=0,所以函数f(x)有3个零点,分别为-1,1,2.又f(0)=2>0,根据函数零点的性质可知在区间(-1,1)内,f(x)>0;在区间(-∞,-1)内,f(x)<0;在区间(1,2)内,f(x)<0;在区间(2,+∞)内,f(x)>0.其大致图象如图所示.题型二函数零点的个数【例2】判断函数f(x)的零点个数.(1)f(x)=x2+mx+1(m∈R);解:(1)Δ=m2-4×1×1=m2-4,①当Δ<0,即m2-4<0时,解得-27、③当Δ>0,即m2-4>0时,解得m<-2或m>2,此时方程f(x)=0有两个不相等的实根,所以函数有两个零点.综上,当m∈(-2,2)时,函数无零点;当m=±2时,函数有一个零点;当m∈(-∞,-2)∪(2,+∞)时,函数有两个零点.(2)f(x)=x-3+lnx.解:(2)令f(x)=x-3+lnx=0,则lnx=3-x,在同一平面直角坐标系内画出函数y=lnx与y=-x+3的图象,如图所示,由图可知函数y=lnx,y=-x+3的图象只有一个交点,即函数f(x)=x-3+lnx只有一个零点.判断函数零点的个数的方法(1)直接求出函数的零点进行判断,即转化为方程f(x)=0解的个数
8、;(2)结合函数图象进行判断,即转化为函数图象与x轴交点个数或两个函数交点的个数;(3)借助函数的单调性进行判断.方法技巧即时训练2-1:(1)函数f(x)=2x
9、log0.5x
10、-1的零点个数为( )(A)1(B)2(C)3(D)4答案:(1)B答案:(2)0或4(2)若函数f(x)=x2-ax+a只有一个零点,则实数a的值是.解析:(2)由已知得Δ=(-a)2-4×1×a=0,即a2-4a=0.解得a=0或a=4.判断函数零点所在的区间题型三(2)根据表格内的数据,可以断定方程ex-x-3=0的一个根所在区间是( )x-10123ex0.3712.727.3920.08x+3
11、23456解析:(2)构造函数f(x)=ex-x-3,由上表可得f(-1)=0.37-2=-1.63<0,f(0)=1-3=-2<0,f(1)=2.72-4=-1.28<0,f(2)=7.39-5=2.39>0,f(3)=20.08-6=14.08>0,f(1)·f(2)<0,所以方程的一个根所在区间为(1,2),故选C.方法技巧(1)确定函数的零点所在的区间时,通常利用零点存在性定理,转化为判断区间端点对应的函数值的符号是否相反.(2)求方程f(x)=g
