高等数学 高职01 第一章 函数.pptx

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1、高等数学第一节函数的基本概念第二节函数的性质第三节反函数第四节初等函数第一章　函数1.函数的基本概念。2.函数的性质。3.反函数的相关知识。4.了解初等函数。学习重点第一章函数定义设D是由数组成的集合.如果对于每个数x∈D，变量y按照一定的法则f总有唯一确定的数值和它对应，那么将对应法则f称为在D上x到y的一个函数，记作y=f(x)，x称为自变量,y称为因变量，D称为函数的定义域.当x取x0∈D时，与x0对应的y的数值称为函数在点x0处的函数值，记作f(x0).当x取遍D中的一切数时，对应的函数值集合M={y

2、y=f(x)，x∈D}称为函数的值域.在函数的定义中，对每一个x

3、∈D，只能有唯一的一个y值与它对应，这种定义的函数称为单值函数.一、函数的定义第一节函数的基本概念1.表格法表格法是将自变量的值与对应的函数值列成表格表示两个变量的函数关系的方法.2.图象法图象法是用图象表示两个变量的函数关系的方法.二、函数的表示法第一节函数的基本概念3.解析法解析法是用一个等式表示两个变量的函数关系的方法.(1)分段函数.在定义域的不同范围内用不同的解析式表示的函数称为分段函数.例如函数都是分段函数.分段函数仍然是一个函数，而不是几个函数.二、函数的表示法第一节函数的基本概念3.解析法（2)隐函数.如果自变量与因变量的对应关系是用一个方程F(x，y)=0

4、确定的，则这种函数称为隐函数.(3)参数方程所确定的函数.在许多实际问题中，变量x与y之间的函数关系还可以用含某一参数的方程组来确定.二、函数的表示法第一节函数的基本概念在实际问题中，函数的定义域要根据问题的实际意义确定．当不考虑函数的实际意义，而仅就抽象的解析式来研究函数时，这时定义域就取使解析式有意义的自变量的全体.要使解析式有意义，我们通常考虑以下几点：(1)分式的分母不能为零；(2)偶次根式的被开方数必须为非负数；(3)对数式中的真数必须大于零；(4)幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数要考虑各自的定义域；(5)若函数表达式由几个数学式子组成，则其定义域

5、应取各部分定义域的交集；(6)分段函数的定义域是各个定义区间的并集．三、函数的定义域第一节函数的基本概念定义设函数的定义域D关于原点对称.如果对于任意的x∈D,f(-x)=-f(x)，那么f(x)为奇函数；如果对于任意的x∈D，f(-x)=f(x)，那么f(x)为偶函数.否则f(x)为非奇非偶函数.一、奇偶性第二节函数的性质定义若对于区间D内任意的两点x1，x2，当x1＜x2时，恒有f(x1)≤f(x2)，那么f(x)在区间D上单调增加，称f(x)为D上的单调递增函数，区间D称为f(x)的单调增区间；特别地，若成立严格不等式f(x1)

6、函数，如果恒有f(x1)≥f(x2)，那么f(x)在区间D上单调减少，称f（x）为D上的单调递减函数，区间D称为f(x)的单调递减区间.特别当成立严格不等式f(x1)>f(x2)，称f（x）为D上的严格减函数.二、单调性第二节函数的性质对任意x∈X都成立，则称函数f(x)在X上有上界，K1称为函数f(x)在X上的一个上界（任何大于K1的数也是f(x)在X上的上界）；如果存在数K2，使得f(x)≥K2对任意x∈X都成立，则称函数f(x)在X上有下界，K2称为函数f(x)在X上的一个下界（任何小于K2的数也是f(x)在X上的下界）；如果存在正数M，使得

7、f(x)

8、≤M三、有界性

9、第二节函数的性质对任意x∈X都成立，则称函数f(x)在X上有界，如果这样的M不存在，就称函数f(x)在X上无界.这就是说，如果对于任何正数M,总存在x1∈X，使

10、f(x1)

11、＞M，那么函数f(x)在X上无界.三、有界性第二节函数的性质定义设函数f(x)的定义域为D.对于任意的x∈D，如果存在不为零的数T，使得f(x+T)=f(x)，那么f(x)为D上的周期函数.T称为f(x)的一个周期，并且nT(n为非零整数)也是它的周期.通常，我们把函数的最小正周期称为函数的周期.四、周期性第二节函数的性质定义在函数的定义中，按关系式x是自变量，y是因变量(函数).在关系式y=f(x)中

12、，如果反过来，将y看成自变量，x看成因变量(函数)，即对每一个y∈B，按y=f(x)都有唯一确定的x值与之对应，则称x是y的反函数.在求反函数的表达式时，可将关系式y=f(x)看成一个方程式，从中将x解出，写作第三节反函数这就是反函数的表达式.习惯上自变量的记号取作x，故将式中x，y记号对换(对应关系不变)，得它仍是y=f(x)的反函数.若将φ记为f-1，则式可写为第三节反函数我们把常数函数y=c(c为常数)、幂函数y=xa(α为实数)、指数函数y=ax(a＞0，a≠1，a为常数)、对数函数y=logax(a＞0，