2018年高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第16讲导数与函数的综合问题课件理.pptx

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1、函数、导数及其应用第二章第16讲 导数与函数的综合问题考纲要求考情分析命题趋势1.利用导数研究函数的单调性、极(最)值,并会解决与之有关的方程(不等式)问题.2.会利用导数解决某些简单的实际问题.2016,全国卷Ⅰ,12T2016,全国卷Ⅲ,21T2016,四川卷,21T考查导数在研究函数中的应用,并应用导数的方法探求一些与不等式、函数、数列有关的综合问题,题目难度较大.分值:12~14分板块一板块二板块三栏目导航板块四1.生活中的优化问题通常求利润最大、用料最省、效率最高等问题称为优化问题,一般地,对于实际问题,若函数在给定的

2、定义域内只有一个极值点,那么该点也是最值点.2.利用导数解决生活中的优化问题的基本思路3.导数在研究方程(不等式)中的应用研究函数的单调性和极(最)值等离不开方程与不等式;反过来方程的根的个数、不等式的证明、不等式恒成立求参数等,又可转化为函数的单调性、极值与最值的问题,利用导数进行研究.4.导数在综合应用中转化与化归思想的常见类型(1)把不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题;(2)把证明不等式问题转化为函数的单调性问题;(3)把方程解的问题转化为函数的零点问题.1.思维辨析(在括号内打“√”或“×”).(1)若实际问题中函数

3、定义域是开区间,则不存在最优解.()(2)函数f(x)=x3+ax2+bx+c的图象与x轴最多有3个交点,最少有一个交点.()(3)函数F(x)=f(x)-g(x)的最小值大于0,则f(x)>g(x).()(4)“存在x∈(a,b),使f(x)≥a”的含义是“任意x∈(a,b),使f(x)≥a”.()×√√×C3.已知函数f(x),g(x)均为[a,b]上的可导函数,在[a,b]上连续且f′(x)

4、)解析:设F(x)=f(x)-g(x),F′(x)=f′(x)-g′(x)<0,∴F(x)在[a,b]上是减函数.∴F(x)在[a,b]上的最大值为F(a)=f(a)-g(a).A4.若函数f(x)=x3-3x+a有3个不同的零点,则实数a的取值范围是________.解析:由于函数f(x)是连续的,故只需要两个极值异号即可.f′(x)=3x2-3,令3x2-3=0,得x=±1,只需f(-1)f(1)<0,即(a+2)(a-2)<0,故a∈(-2,2).(-2,2)f(a)<f(b)利用导数解决生活中的优化问题的四个步骤(1)分

5、析实际问题中各个量之间的关系,列出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系式y=f(x).(2)求函数的导数f′(x),解方程f′(x)=0.(3)比较函数在区间端点和使f′(x)=0的点的函数值的大小,最大(小)者为最大(小)值.(4)回归实际问题回答解决方案.注意:解决此类问题要根据实际问题的意义确定出函数的定义域.一 利用导数解决生活中的优化问题【例1】某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r米,高为h米,体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为100元/平方

6、米,底面的建造成本为160元/平方米,该蓄水池的总建造成本为12000π元(π为圆周率).(1)将V表示成r的函数V(r),并求该函数的定义域;(2)讨论函数V(r)的单调性,并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大.二 利用导数研究函数的零点或方程的根研究方程根的情况,可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等,根据题目要求,画出函数图象的走势规律,标明函数极(最)值的位置,通过数形结合的思想去分析问题,可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现.【例2】已知x=3是函数f(x)=aln(1+x)+x2-10x的一

7、个极值点.(1)求a的值;(2)求函数f(x)的单调区间;(3)若直线y=b与函数y=f(x)的图象有3个交点,求b的取值范围.三 利用导数证明不等式利用导数证明不等式的解题策略(1)证明f(x)g(x),x∈(a,b),可以构造函数F(x)=f(x)-g(x),如果F′(x)>0,那

8、么F(x)在(a,b)上是增函数,同时若F(a)≥0,由增函数的定义可知,x∈(a,b)时,有F(x)>0,即证明了f(x)>g(x).(3)在证明过程中,一个重要技巧就是找到函数F(x)=f(x)-g(x)的零点,这往往就是解决问题的一个突破口.四 利用导数研

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