椭圆、双曲线的离心率取值范围求解方法[2].doc

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1、椭圆、双曲线的离心率取值范围求解方法一、利用三角形三边的关系建立不等关系（但要注意可以取到等号成立）例1：双曲线的两个焦点为，若为其上一点，且，则双曲线离心率的取值范围为（）A.(1,3)B.C.(3,+)D.【解析】，，（当且仅当三点共线等号成立）,选B例2、如果椭圆上存在一点P，使得点P到左准线的距离与它到右焦点的距离相等，那么椭圆的离心率的取值范围为（）A．B．C．D．[解析]设，由题意及椭圆第二定义可知（当且仅当三点共线等号成立），把代入化简可得又,选B二、利用三角函数有界性结合余弦定理

2、建立不等关系例1：双曲线的两个焦点为，若为其上一点，且，则双曲线离心率的取值范围是（）Ａ．　Ｂ．Ｃ．　　Ｄ．【解析】设，，当点在右顶点处，．．三、利用曲线的几何性质数形结合建立不等关系例1：双曲线的两个焦点为，若为其上一点，且，则双曲线离心率的取值范围为（）A.(1,3)B.C.(3,+)D.解：,,即在双曲线右支上恒存在点使得可知，又,选B例2．已知双曲线的左、右焦点分别是F1、F2，P是双曲线右支上一点，P到右准线的距离为d，若d、

3、PF2

4、、

5、PF1

6、依次成等比数列，求双曲线的离心率的取值

7、范围。解：由题意得因为，所以，从而 ，10。又因为P在右支上，所以。 。。例3．椭圆的右焦点，其右准线与轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点，则椭圆离心率的取值范围是（）（A）（B）（C）（D）解析：由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点，即F点到P点与A点的距离相等，而

8、FA

9、＝w

10、PF

11、∈[a－c,a＋c]于是∈[a－c,a＋c]即ac－c2≤b2≤ac＋c2∴Þm又e∈(0,1)故e∈答案：D例4、已知双曲线的左、右焦点分别为．若双曲线上存在点使，则该双

12、曲线的离心率的取值范围是．【解析】（由正弦定理得），，．又，，，由双曲线性质知，，即，得，又，得．例5、设椭圆的左右焦点分别为，如果椭圆上存在点P，使∠=900，求离心率e的取值范围。解析：∵P点满足∠F1PF2=90°，∴点P在以F1F2为直径的圆上又∵P是椭圆上一点，∴以F1F2为直径的圆与椭圆有公共点，∵F1、F2是椭圆的焦点∴以F1F2为直径的圆的半径r满足：r=c≥b，两边平方，得c2≥b2即c2≥a2-c210四、利用圆锥曲线中的范围建立不等关系例1、双曲线的右支上存在一点，它到右焦

13、点及左准线的距离相等，则双曲线离心率的取值范围是（　）Ａ．　　Ｂ．　　　Ｃ．　　Ｄ．【解析】而双曲线的离心率，例2、设点P在双曲线的左支上，双曲线两焦点为，已知是点P到左准线的距离和的比例中项，求双曲线离心率的取值范围。解析：由题设得：。由双曲线第二定义得：，由焦半径公式得：，则，即，解得。归纳：求双曲线离心率取值范围时可先求出双曲线上一点的坐标，再利用性质：若点在双曲线的左支上则；若点在双曲线的右支上则。例2．设椭圆的左右焦点分别为，如果椭圆上存在点P，使∠=900，求离心率e的取值范围。解析

14、1：设P（x，y），又知，则将这个方程与椭圆方程联立，消去y，可解得10解析2：由焦半径公式得例3已知椭圆=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A、B，如果椭圆上存在点P，使得∠APB=1200，求椭圆的离心率e的取值范围．解：设P（x0，y0），由椭圆的对称性，不妨令0≤x0＜a,0＜y0≤b．∵A（a，0），B（a，0），∴=，=．∵∠APB=1200，∴tan∠APB=-，又tan∠APB==，∴=，……①而点P在椭圆上，∴b2x02+a2y02=a2b2……②由①、②得y0=．∵0＜y0≤

15、b，∴0＜≤b．∵a＞b＞0，∴2ab≤（a2-b2），即4a2b2≤3c4，整理得，3e4+4e2-4≥0．考虑0＜e10＜1，可解得≤e＜1．四、利用判别式建立不等关系例1、设椭圆的左右焦点分别为，如果椭圆上存在点P，使∠=900，求离心率e的取值范围。解：由椭圆定义知例2、已知双曲线与直线：交于P、Q两个不同的点，求双曲线离心率的取值范围。解析：把双曲线方程和直线方程联立消去得：时，直线与双曲线有两个不同的交点则，，即且，所以，即且。五、利用均值不等式建立不等关系例1、已知椭圆(a＞b＞0

16、)的两个焦点为F1，F2，P为椭圆上一点，∠F1PF2=60°则椭圆离心率e的取值范围；解：设

17、PF1

18、=m，

19、PF2

20、=n则根据椭圆的定义，得m+n=2a，①又∵△F1PF2中，∠F1PF2=60°∴由余弦定理，得m2+n2-mn=4c2．②①②联解，得mn＝10又∵mn≤＝a2，∴≤a2，化简整理，得a2＜4c2，解之得≤e＜1例2、已知点在双曲线的右支上，双曲线两焦点为，最小值是，则双曲线离心率的取值范围。解析：，由均值定理知：当且仅当时取得最小值，又所以，则。例3、设椭圆的左右焦点分别为