和角公式与倍角公式.doc

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1、§4.5　和角公式与倍角公式1．cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ　(Cα－β)cos(α＋β)＝____________________________　(Cα＋β)sin(α－β)＝____________________________　(Sα－β)sin(α＋β)＝______________________________　(Sα＋β)tan(α－β)＝　(Tα－β)tan(α＋β)＝　(Tα＋β)前面4个公式对任意的α，β都成立，而后面两个公式成立的条件是α≠kπ＋，β≠kπ＋，k∈Z，且α＋β≠kπ＋(Tα＋β需满足

2、)，α－β≠kπ＋(Tα－β需满足)k∈Z时成立，否则是不成立的．当tanα、tanβ或tan(α±β)的值不存在时，不能使用公式Tα±β处理有关问题，应改用诱导公式或其它方法来解．2．二倍角公式sin2α＝__________________；cos2α＝________________＝__________＝__________；tan2α＝______________.3．在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等．如Tα±β可变形为：tanα±tanβ＝________________________

3、，tanαtanβ＝________________＝________________.4．函数f(α)＝acosα＋bsinα(a，b为常数)，可以化为f(α)＝____________或f(α)＝______，其中φ可由a，b的值唯一确定．[难点正本　疑点清源]1．正确理解并掌握和、差角公式间的关系理解并掌握和、差角公式间的关系对掌握公式十分有效．如cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ可用向量推导，cos(α＋β)只需转化为cos[α－(－β)]利用上述公式和诱导公式即可．2．辩证地看待和角与差角为了灵活应用和、差角公式，可以对

4、角进行适当的拆分变换：已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换．如α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，2α＝(α＋β)＋(α－β),2α＝(β＋α)－(β－α)，α＋β＝2·，＝－等．1．化简：sin200°cos140°－cos160°sin40°＝___________________________________.2．已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝－，则的值为________．3．函数f(x)＝2sinx(sinx＋cosx)的单调增区间为______________________．4

5、．(2011·辽宁)设sin(＋θ)＝，则sin2θ等于(　　)A．－B．－C.D.5．若sin＝，则cos的值为(　　)A.B．－C.D．－题型一　三角函数式的化简求值问题例1　(1)化简：(0<θ<π)；(2)求值：－sin10°.探究提高　(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则，一看角，二看名，三看式子结构与特征．(2)对于给角求值问题，往往所给角都是非特殊角，解决这类问题的基本思路有：①化为特殊角的三角函数值；②化为正、负相消的项，消去求值；③化分子、分母出现公约数进行约分求值．(1)化简：·；(2)求值：[2sin50°＋sin10°(

6、1＋tan10°)]·.题型二　三角函数的给角求值与给值求角问题例2　(1)已知<β<α<，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，求sin2α；(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tanβ＝－，求2α－β的值．探究提高　(1)通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好．(2)解这类问题的一般步骤为：①求角的某一个三角函数值；②确定角的范围；③根据角的范围

7、写出所求的角．(2011·广东)已知函数f(x)＝2sin，x∈R.(1)求f的值；(2)设α，β∈，f＝，f(3β＋2π)＝，求cos(α＋β)的值．题型三　三角变换的简单应用例3　已知f(x)＝sin2x－2sin·sin.(1)若tanα＝2，求f(α)的值；(2)若x∈，求f(x)的取值范围．探究提高　(1)将f(x)化简是解题的关键，本题中巧妙运用“1”的代换技巧，将sin2α，cos2α化为正切tanα，为第(1)问铺平道路．(2)把形如y＝asinx＋bcosx化为y＝sin(x＋φ)，可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性．(

8、2010·天津)已知函数f(x)＝2sinxcosx＋2cos2x－1(x∈R)．(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间