数值分析引论 易大义Ch4.2.ppt

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1、优点：代数精度高：，问题：代数精度最大是多少？如何寻求数值稳定的方法？本节内容：介绍插值型求积公式的特例，Gauss型求积公式.优点：1.代数精度最高；复习：给定n+1个节点，插值型求积公式：缺点：数值不一定稳定.N－C公式：Simpson公式梯形公式2.数值稳定，收敛.插值基函数2.1最高代数精度求积公式分析四个未知量A0，A1，x0，x1，并知道插值型求积公式的解具有尽可能高的代数精度.例4求节点，使插值型求积公式问题结论本节问题关键§2Gauss型求积公式插值型代数精度最高.因此按插值型求积公式来求A0，A

2、1.一般地，对于任意求积节点，任意求积系数，求积公式分析Gauss型求积公式的构造——利用正交多项式的根构造分析引理1证明代数精度最高的求积公式定义3正交多项式的根一定是Gauss点，那么Gauss点是否一定是正n+1个节点(a

3、)是Gauss型的“充分性”即是引理1的结论.以下只证必要性只需证证明注本定理说明Gauss求积公式的唯一性.“必要性”，即Gauss点作为节点正是n+1次正交多项式的根.代数精度m=2n+1正交.关于2.3Gauss求积公式的余项（截断误差）由引理1知,xi(i=0,1,…,n)是Gauss点,则m=2n+1,定理5，则Gauss求积公式(2.2)的余项为分析点,确定2n+1次多项式，证明若f(x)的Hermite插值多项式H2n+1(x)满足插值条件由n+1个利用Hermite插值多项式.Gauss型求积公式

4、是数值稳定的2.4Gauss求积公式的数值稳定性和收敛性1、稳定性证明上的连续函数可以用代数多项式一致逼近,对任意给定的存在某个多项式2、收敛性引理2上的任何连续函数对于有限闭区间结论定理6Gauss型求积公式是数值稳定的；且对有限闭区间上的优点（1）收敛、稳定;缺点（1）Gauss点难求（即多项式的根难求）;（1）f(x)赋值量大;使用情况（2）计算的积分多.连续函数，Gauss型求积公式的值随节点数目的增加而收敛到准确积分值.（2）计算量小，代数精度高.（2）Gauss点是无理数，Gauss求积系数也是无理数

5、.2.5几个常用的Gauss型求积公式Gauss型节点是多项式的根，因此与正交多项式联系起来，有1.Gauss-Legendre（勒让德）求积公式2.Gauss-chebyshev（切比雪夫）求积公式3.Gauss-Laguerre（拉盖尔）求积公式4.Gauss-Hermite求积公式以下几种求积公式.本课重点：理解掌握Gauss型求积公式及其代数精度并会求Gauss型求积公式.说明：（1）插值型求积公式代数精度大于n，多大？最大可达到2n+1,即是Gauss型求积公式，Gauss节点是正交多项式的根.交多项式

6、，并且也能构造高斯求积公式，但不能象这些特殊多项（2）虽然对任意的[a,b]以及[a,b]上的权函数都能构造正式那样，归结成一个明确的表达式，也没有明确的规律，因此，借助这些特殊多项式，便于解决一些实际问题.P2071（2、4）、6作业:理解Gauss求积公式的数值稳定性、收敛性与余项、Gauss点与正交多项式的关系.了解几个常用的Gauss型求积公式.课本P.177例5编程:2.1最高代数精度求积公式§2Gauss型求积公式Gauss型求积公式的构造——利用正交多项式的根来构造引理1：代数精度最高的求积公式定义

7、3正交多项式的根一定是Gauss点，那么Gauss点是否一定是正n+1个节点(a