对偶问题和运输问题.ppt

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1、原问题与对偶问题的关系原问题(或对偶问题)对偶问题(或原问题)目标函数maxzn个变>=0量<=0无约束目标函数minwn个约>=束<=条=件约m个束<=条>=约束条件右端项目标函数变量的系数m个>=0变<=0量目标函数变量的系数约束条件右端项例3写对偶问题Minz=2x1+3x2-5x3+x4x1+x2-3x3+x4>=52x1+2x3-x4<=4x2+x3+x4=6x1<=0,x2,x3>=0x4无约束Maxz’=5y1+4y2+6y3y1+2y2>=0y1+y3<=0-3y1+2y2+y3<=-5y1-y2+y3=1y1>=0,y2<=0,y3无约束3

2、.对偶定理(原问题与对偶问题解的关系）考虑（LP）和（DP）定理3-1(弱对偶定理）若x,y分别为（LP)和（DP）的可行解，那么cTx≤bTy。推论若（LP）可行，那么（LP）无有限最优解的充分必要条件是（LD）无可行解。1.线性规划对偶问题定理3-2(最优性准则定理)若x,y分别(LP),(DP)的可行解,且cTx=bTy，那么x,y分别为(LP)和(DP)的最优解。定理3-3(主对偶定理)若(LP)和(DP)均可行那么(LP)和(DP)均有最优解,且最优值相等。以上定理、推论对任意形式的相应性规划的对偶均有效1.线性规划对偶问题4、原始问题和对偶问题最

3、优解之间的互补松弛关系minz=CTXs.t.AX-XS=bX,XS≥0maxy=bTWs.t.ATW+WS=CW,WS≥0minz=CTXs.t.AX≥bX≥0maxy=bTWs.t.ATW≤CW≥0对偶引进松弛变量引进松弛变量XTWS=0WTXS=0互补松弛关系X，XsW，Ws五、对偶的经济解释1、原始问题是利润最大化的生产计划问题单位产品的利润（元/件）产品产量（件）总利润（元）资源限量（吨）单位产品消耗的资源（吨/件）剩余的资源（吨）消耗的资源（吨）2、对偶问题资源限量（吨）资源价格（元/吨）总利润（元）对偶问题是资源定价问题，对偶问题的最优解w1、

4、w2、...、wm称为m种资源的影子价格（ShadowPrice）原始和对偶问题都取得最优解时，最大利润maxz=miny3、资源影子价格的性质影子价格越大，说明这种资源越是相对紧缺影子价格越小，说明这种资源相对不紧缺如果最优生产计划下某种资源有剩余，这种资源的影子价格一定等于0影子价格的经济含义(1)影子价格是对现有资源实现最大效益时的一种估价企业可以根据现有资源的影子价格，对资源的使用有两种考虑：第一，是否将设备用于外加工或出租，若租费高于某设备的影子价格，可考虑出租该设备，否则不宜出租。第二，是否将投资用于购买设备，以扩大生产能力，若市价低于某设备的影

5、子价格，可考虑买进该设备，否则不宜买进。1.线性规划对偶问题需要指出，影子价格不是固定不变的，当约束条件、产品利润等发生变化时，有可能使影子价格发生变化。另外，影子价格的经济含义（2），是指资源在一定范围内增加时的情况，当某种资源的增加超过了这个“一定的范围”时，总利润的增加量则不是按照影子价格给出的数值线性地增加。这个问题还将在灵敏度分析一节中讨论。1.线性规划对偶问题5.由最优单纯形表求对偶问题最优解标准形式：Maxz=50x1+100x2s.t.x1+x2+x3=3002x1+x2+x4=400x2+x5=250x1,x2,x3,x4,x5≥01.线性

6、规划对偶问题maxz=CTXs.t.AX+XS=bX,XS≥0maxy=bTWs.t.ATW-WS=CW,WS≥0maxz=CTXs.t.AX≤bX≥0miny=bTWs.t.ATW≥CW≥0单纯形表和对偶对偶问题原始问题引进松弛变量引进松弛变量maxz=CTXs.t.AX+XS=bX,XS≥0miny=bTWs.t.ATW-WS=CW,WS≥0WT=CBTB-1WST=WTA-CT-cBTB-1IB=(p1,p4,p2)oTB-1最优解x1=50x2=250x4=50影子价格y1=50y2=0y3=50,B-1对应的检验数T=cBTB-1。1.线性规划对

7、偶问题例3.2：求解线性规划问题：标准化：Maxz=-2x1-3x2-4x3s.t.-x1-2x2-x3+x4=-3-2x1+x2-3x3+x5=-4x1,x2,x3,x4,x5≥0Minf=2x1+3x2+4x3S.t.x1+2x2+x3≥32x1-x2+x3≥4x1,x2,x3≥02.对偶单纯形法对偶单纯形法的基本思想对偶单纯形法的基本思想是：从原规划的一个基本解出发，此基本解不一定可行，但它对应着一个对偶可行解（检验数非正），所以也可以说是从一个对偶可行解出发；然后检验原规划的基本解是否可行，即是否有负的分量，如果有小于零的分量，则进行迭代，求另一个基

8、本解，此基本解对应着另一个对偶可行解（检验数非正）。