3、a
4、<.D3.已知圆心在x轴上,半径为的圆O位于y轴左侧,且与直线x+y=0相切,则圆O的方程是(x+2)2+y2=2.解法:设圆心
5、为(a,0)(a<0),则r==,解得a=-2.1.已知一个圆的圆心为A(2,1),且与圆x2+y2-3x=0相交于P1、P2两点.若点A到直线P1P2的距离为5,求这个圆的方程.解法1:设圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=r2,即x2+y2-4x-2y+5-r2=0.题型1求圆的方程所以直线P1P2的方程为x+2y-5+r2=0.由已知得所以r2=6.故所求圆的方程是(x-2)2+(y-1)2=6.解法2:已知圆的圆心为点B(,0),半径为,所以
6、AB
7、=.连结AB延长交P1P2于C,则AC⊥P1P2.所以
8、AC
9、=,从而
10、BC
11、=又
12、P1B
13、=,所以在Rt△P1CA中,
14、P1A
15、2
16、=
17、P1C
18、2+
19、AC
20、2=6,故所求圆的方程是(x-2)2+(y-1)2=6.点评:求圆的方程一般是利用待定系数法求解,即设圆的方程的标准式(或一般式).如本题圆心坐标已知,则先设圆的标准式,然后求得半径r即可.2.已知圆x2+y2+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P,Q两点,且OP⊥OQ(O为坐标原点),求该圆的圆心坐标及半径.解法1:将x=3-2y,代入方程x2+y2+x-6y+m=0得5y2-20y+12+m=0.设P(x1,y1),Q(x2,y2),则y1、y2满足条件:y1+y2=4,y1y2=因为OP⊥OQ,所以x1x2+y1y2=0.而x1=3-2y1,x2=3-
21、2y2,所以x1x2=9-6(y1+y2)+4y1y2.题型2与圆有关的求值问题所以9-6(y1+y2)+5y1y2=0,即9-6×4+12+m=0,所以m=3,此时Δ>0,圆心坐标为(-,3),半径为.解法2:如图所示,设弦PQ中点为M,因为O1M⊥PQ,所以kO1M=2.所以O1M的方程为y-3=2(x+),即y=2x+4.由方程组解得M的坐标为(-1,2).则以PQ为直径的圆可设为(x+1)2+(y-2)2=r2.因为OP⊥OQ,所以点O在以PQ为直径的圆上.所以(0+1)2+(0-2)2=r2,即r2=5,MQ2=r2.在Rt△O1MQ中,O1Q2=O1M2+MQ2.所以所以m=3
22、,所以半径为,圆心为(-,3).点评:求参数的值的问题,就是转化题中条件得到参数的方程(组),然后解方程(组)即可.注意有时还需对方程的解进行检验.已知曲线C1:(t为参数),C2:(θ为参数).(1)化C1,C2的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线;(2)若C1上的点P对应的参数为t=,Q为C2上的动点,求PQ中点M到直线C3:(t为参数)距离的最小值.解:(1)C1:(x+4)2+(y-3)2=1,C2:C1是圆心为(-4,3),半径为1的圆.C2是中心在坐标原点,焦点在x轴上,长半轴长为8,短半轴长为3的椭圆.(2)当t=时,P(-4,4)、Q(8cosθ,3sinθ),所以
23、M(-2+4cosθ,2+sinθ).C3为直线x-2y-7=0,所以M到C3的距离d=
24、4cosθ-3sinθ-13
25、.从而当cosθ=,sinθ=-时,d取得最小值.1.由标准方程和一般方程看出圆的方程都含有三个参变数,因此必须具备三个独立条件,才能确定一个圆.求圆的方程时,若能根据已知条件找出圆心和半径,则可用直接法写出圆的标准方程,否则可用待定系数法求解.2.解答圆的问题,应注意数形结合,充分运用圆的几何性质,简