2012年考研高数复习纲要.doc

《2012年考研高数复习纲要.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、一函数、极限与连续（一）本章的重点内容与常见的典型题型　　１．本章的重点内容是极限，既要准确理解极限的概念和极限存在的充要条件，又要能正确求出各种极限。求极限的方法很多，在考试中常用的主要方法有：（1）利用极限的四则运算法则及函数的连续性；（2）利用两个重要极限，两个重要极限即（3）利用洛必达法则及泰勒公式求未定式的极限；（4）利用等价无穷小代替（常会使运算简化）；（5）利用夹逼定理；（6）先证明数列极限的存在（通常会用到“单调有界数列必有极限”的准则），再利用关系式求出极限；（7）利用定积分求某些和式的极限；（8）利用导数的定义；（9）

2、利用级数的收敛性证明数列的极限为零。这里需要指出的是：题型与方法并不具有确定的关系，一种题型可以有几种计算法，一种方法也可能用于几种题型，有时在一个题目中要用到几种方法，所以还要具体问题具体分析，方法要灵活运用。２．由于函数的连续性是通过极限定义的，所以判断函数是否连续、判断函数的间断点类型等问题本质上仍是求极限、因此这部分也是重点。３．在函数这一部分内，重点是复合函数和分段函数以及函数记号的运算。　　通过历年试题归类分析，本章的常见题型有：　　１．直接计算函数的极限值或给定函数极限值求函数表示式中的常数；　　２．讨论函数的连续性、判断间

3、断点的类型；　　３．无穷小的比较；　　４．讨论连续函数在给定区间的零点，或方程在给定区间有无实根；５．求分段函数的复合函数。（一）知识网络图唯一性有界性数列整体有界函数局部有界极限概念“ε－Ｘ”定义－Ｘ“ε－δ”定义极限性质保号性１极限存在准则２两个重要的极限３函数的连续性４用导数的定义５洛必达法则６等价无穷小替换７泰勒公式８用函数极限求数列极限求极限的主要方法“ε－Ｎ”定义夹逼定理单调有界数列有极限　转换无穷小量无穷小量与无穷大量的定义、关系无穷小量的运算性质无穷小量与极限的关系无穷小量的阶、等价无穷小量初等函数的连续性分段函数连续性判

4、定闭区间上连续函数的性质第一类——左右极限都存在第二类——左右极限中至少有一个不存在连续的概念间断点的分类可去跳跃最值定理介值定理极限连续性（三）典型题型分析及解题方法与技巧题型一求复合函数［例1.1］设题型二利用函数概念求函数的表达式［例1.2］已知并写出它的定义域．题型三判断函数的性质［例1.3］设（A）偶函数（B）无界函数（C）周期函数（D）单调函数.题型四求极限的方法［例1.4]］填空题.［例1.5］求下列极限［例1.6］求下列极限［例1.7］选择题当时，函数的极限是（）.（A）2;（B）0；（C）；（D）不存在但不为.［例1.8

5、］设问a为何值时存在.［例1.9］求［例1.10］选择题设函数，则当时，是的（）（A）低阶无穷小（B）高阶无穷小（C）等价无穷小（D）同阶但不等价的无穷小［例1.11］求.［例1.12］确定a，b，c值，使.［例1.13］填空题设.［例1.14］选择题时，是比高阶无穷小，则（）（A）（B）（C）（D）［例1.15］设时，与是等价无穷小，求常数之值.［例1.16］填空题设在连续，则.［例1.17］当时，下列无穷小：中，（）是的低阶无穷小；（）是的一阶无穷小；（　　　）是的二阶无穷小；（　　　）是的高阶无穷小．［例1.18］选择题当的无穷小量

6、排列起来，使排在后面的是前面一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是（　　　）．（Ａ）　　　　　　　　　（Ｂ）（Ｃ）　　　　　　　　　（Ｄ）［例1.19］求．［例1.20］求.［例1.21］设>0,数列满足.［例1.22］填空题．［例1.23］设,则.［例1.24］设是区间上单调减少且非负的连续函数,,（ｎ＝1,2,…）,证明数列的极限存在.题型五讨论函数的连续性与间断点的关系［例1.25］设讨论的连续性，若有间断点并指出类型．［例1.26］选择题设其中是有界函数，则在处（）.（A）极限不存在；（B）极限存在，但不连续；（C）连续，但不可导；

7、（D）可导.［例1.27］选择题设则在处（）.（A）极限不存在；（B）极限存在，但不连续；（C）连续，但不可导；（D）可导.［例1.28］选择题设则在处（）（A）不连续；（B）连续，但不可导；（C）可导但在处不连续；（D）可导且在处连续.［例1.29］求函数在区间内的间断点，并判断其类型.［例1.30］设在内有定义，且，则（　　　）．（A）必是的第一类间断点；（B）必是的第二类间断点；（C）必是的连续点；（D）在点处的连续性与的取值有关。［例1.31］设在连续，，求证：（1）（2）.［例1.32］设在上连续，证明：至少存在，使.［例1.3

8、3］填空题.［例1.34］填空题在区间上函数的最大值记为.则.［例1.35］填空题设在处可导，则常数a,b,c分别等于［例1.36］以表示不超过x的最大整数，试确定常数a的值，使存在，并求出此