2003年高考试题——数学理(北京卷)及答案.doc

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1、2003年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理工农医类）第Ⅰ卷（选择题共50分）参考公式：三角函数的积化和差公式：正棱台、圆台的侧面积公式其中、分别表示上、下底面周长，表示斜高或母线长.球体的体积公式：，其中R表示球的半径.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.（1）设集合，，则等于（A）　（B）　　（C）　（D）或（2）设，，，则（A）　　（B）　　（C）　　（D）（3）“”是“”的（A）必要非充分条件　　（B）充分非必要条件（C）充分必要条件　　（D）既

2、非充分又非必要条件4．已知是平面，是直线，下列命题中不正确的是（A）若∥，，则∥　（B）若∥，，则（C）若，，则∥　　　（D）若，，则．5．极坐标方程表示的曲线是（A）圆　　　（B）椭圆　　　　（C）抛物线　　　（D）双曲线6．若，且，则的最小值是（A）2　　　　　（B）3　　　　　（C）4　　　　　（D）57．如果圆台的母线与底面成角，那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为（A）　　　　（B）　　　（C）　　　（D）8．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植．不同的种植方

3、法共有（A）24种　　　　（B）18种　　　　（C）12种　　　　（D）6种89．若数列的通项公式是，，则等于（A）　　　（B）　　　　（C）　　　　　（D）10．某班试用电子投票系统选举班干部候选人．全班名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为．规定：同意按“1”，不同意（含弃权）按“0”．令其中，且，则同时同意第1、2号同学当选的人数为（A）（B）（C）（D）第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.11．，，，其中为偶函数．12．已知双曲线方程为，则以双曲线左顶

4、点为顶点，右焦点为焦点的抛物线方程为．13．一底面半径为的圆柱，被一平面所截剩下部分母线最大值为，最小值为，那么圆柱被截后剩下部分的体积为．14．一根长为1的铁丝，分成两段分别围成一个正方形和一个圆，当正方形和圆的面积之和最小时，正方形的周长为．三、解答题：本大题共6小题，共84分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（本小题满分13分）已知函数（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值.16．（本小题满分13分）已知数列是等差数列，且，（1）求数列的通项公式；（2）设数列（），求数列的前项和公式.817．

5、（本小题满分15分）如图，已知正三棱柱底面边长为3，，为延长线上一点，且．（1）求证：直线∥面；（2）求二面角的大小；（3）求三棱锥的体积．18．（本小题满分15分）如图，已知椭圆的长轴与轴平行，短轴在轴上，中心（（Ⅰ）写出椭圆方程并求出焦点坐标和离心率；（Ⅱ）设直线与椭圆交于，（），直线与椭圆次于，（）．求证：；（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的在，设交轴于点，交轴于点，求证：（证明过程不考虑或垂直于轴的情形）19．（本小题满分14分）有三个新兴城镇分别位于、、三点处，且，，今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在的垂直平分线上的点

6、处（建立坐标系如图）．（Ⅰ）若希望点到三镇距离的平方和最小，则应位于何处？（Ⅱ）若希望点到三镇的最远距离为最小，则应位于何处？20．（本小题满分14分）设是定义在区间上的函数，且满足条件，①②对任意的、，都有（Ⅰ）证明：对任意，都有（Ⅱ）证明：对任意的都有（Ⅲ）在区间上是否存在满足题设条件的奇函数且使得若存在请举一例，若不存在，请说明理由．82003年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学（理工农医类）答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分50分.1．A2．D3．A4．B5．D6．B7．C8．B9．C1

7、0．C二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分.11．12．13．14．三、解答题：本大题共6小题，共84分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．本小题主要考查三角函数的倍角、和角公式，以及三角函数的性质等基本知识，考查运算能力，满分13分.（Ⅰ）解：因为所以的最小正周期（Ⅱ）解：因为,所以当时，取最大值为,当时，取最小值为－1∴的最大值为1,最小值为－16．本小题主要考查等差、等比数列等基本知识，考查综合运用数学知识和方法解决问题的能力.满分13分.（Ⅰ）解：设数列公差为，则又所以（Ⅱ）解：由得

8、①②当x≠1时，将①式减去②式，得∴8当x=1时，综上可知，当x=1时，当x≠1时，17．本小题主要考查直线与平面的位置关系，正棱柱的性质，棱锥的体积等基本知识，考查空间想象能力和逻辑推理能力.满分15分.（Ⅰ）证明：∵CD∥C1B1，又BD=BC=B1C1，∴