圆锥曲线地焦半径巧用print.doc

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1、圆锥曲线的焦半径巧用圆锥曲线的焦半径为：二次曲线上任意一点Q到焦点的距离．圆锥曲线的焦半径概念，是圆锥曲线中的一个重要的概念．许多圆锥曲线的求解问题，往往都牵涉到它，且运用圆锥曲线的焦半径分析问题可给解题带来生机．因此，掌握它是非常重要的．椭圆焦半径：R左=a+xe,R右=a-xe,右支双曲线焦半径：R左=xe+a，R右=xe-a(x>0)，左支双曲线焦半径：R左=-(xe+a)，R右=-(xe-a)(x<0),抛物线焦半径：R抛=x+．对于这些结论我们无须花气力去记，只要掌握相应的准线方程及标准方

2、程的两种定义，可直接推得．如对双曲线而言：当P(x0,y0)是双曲线b2x2-a2y2=a2b2(a>0,b>0)右支上的一点，F1,F2是其左右焦点．则有左准线方程为．由双曲线的第二定义得，左焦半径为;由

3、PF1

4、-

5、PF2

6、=2a，得

7、PF2

8、=

9、PF2

10、-2a=ex0-a．(

11、PF2

12、亦可由第二定义求得)．例1已知F1，F2是椭圆E的左、右焦点，抛物线C以F1为顶点，F2为焦点，设P为椭圆与抛物线的一个交点，如果椭圆E的离心率e满足

13、PF1

14、=e

15、PF2

16、，则e的值为()解法1设F1(-c,0

17、)，F2(c,0)，P(x0,y0)，于是，抛物线的方程为y2=2(4c)(x+c),抛物线的准线l：x=-3c，椭圆的准线m：，设点P到两条准线的距离分别为d1,d2．于是，由抛物线定义，得d1=

18、PF2

19、,……………………①又由椭圆的定义得

20、PF1

21、=ed2，而

22、PF1

23、=e

24、PF2

25、，………………………………②由①②得d2=

26、PF2

27、,故d1=d2，从而两条准线重合．∴．故选(C)．解法2由椭圆定义得

28、PF1

29、+

30、PF2

31、=2a，又

32、PF1

33、=e

34、PF2

35、，∴

36、PF2

37、(1+e)=2a，………

38、①又由抛物线定义得

39、PF2

40、=x0+3c,即x0=

41、PF2

42、-3c，……………………………②由椭圆定义得

43、PF2

44、=a-ex0,………………………………………③由②③得

45、PF2

46、=a-e

47、PF2

48、+3ec，即

49、PF2

50、(1+e)=a+3ec，…………………④由①④得2a=a+3ec，解得，故选(C)．点评结合椭圆、抛物线的定义，并充分运用焦半径是解答本题的基本思想．例2设椭圆E：b2x2+a2y2=a2b2(a>b>0)，的左、右焦点分别为F1,F2，右顶点为A,如果点M为椭圆E上的任意一点，且

51、M

52、F1

53、·

54、MF2

55、的最小值为．(1)求椭圆的离心率e；(2)设双曲线Q：是以椭圆E的焦点为顶点，顶点为焦点，且在第一象限内任取Q上一点P，试问是否存在常数λ(λ>0)，使得∠PAF1=λ∠PF1A成立？试证明你的结论．分析对于(1)可利用焦半径公式直接求解．而(2)是一探索型的命题，解题应注重探索．由于在解析几何中对角的问题的求解，往往要主动联想到斜率．而∠PF1A显然是一锐角，又易知∠PAF1是(0,120o)内的角，且90o是斜率不存在的角．于是，抓住90o这一特殊角试探，可得解法1，若注重斜率

56、的研究，考查所两角差的正切，可得解法2；若转变角的角度来观察，将∠PF1A变为∠PNF1，使∠PAF1变成△4PNA的外角，可得解法3；若考查角平分线的性质可得解法4；若从图像与所求式的特点分析得知，所求的λ必须是大于1的正数，从常规看来可以猜想到它可能是二倍角或三倍角的关系．由此先探索一下二倍角的情形，考查角平分线定理，可得解法5；若是考查∠PF1A与∠PAF1的图形位置，直接解三角形PAF1，可得到解法6．(1)解设M(x0,y0),由椭圆的焦半径定义得

57、MF1

58、=a+ex0，

59、MF2

60、=a-e

61、x0，

62、MF1

63、·

64、MF2

65、=(a+ex0)(a-ex0)=a2-e2x02,∵

66、MF1

67、·

68、MF2

69、的最小值为,且

70、x0

71、≤a，∴a2-e2x02≥a2-e2a2=，解得．(2)解法1由题意得双曲线的离心率e=2,且双曲线的实半轴长为c,半焦距为2c,故设双曲线Q的方程为，假设存在适合题意的常数λ(λ>0)，①考虑特殊情形的λ值．当PA⊥x轴时，点P的横坐标为2c，从而点P的纵坐标为y=3c，而

72、AF1

73、=3c,∴△PAF1是等腰直角三角形，即∠PAF1=,∠PF1A=,从而可得λ=2．②PA不与

74、x轴垂直时，则要证∠PAF1=2∠PF1A成立即可．由于点P(x1,y1)在第一象限内，故PF1,PA的斜率均存在，从而，有,，且有,…………※又∵，将※代入得,由此可得tan2∠PF1A=tan∠PAF1，∵P在第一象限，A(2c,0),∴,又∵∠PF1A为锐角，于是，由正切函数的单调性得2∠PF1A=∠PAF1．综合上述得，当λ=2时，双曲线在第一象限内所有点均有∠PAF1=2∠PF1A成立．解法2由题意得双曲线的离心率e=2,且双曲线的实半轴长为c,半焦距为