2014高考数学一轮汇总训练《数列的综合问题-》理-新人教A版.doc

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1、[备考方向要明了]考什么怎么考　能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用相关知识解决相应的问题.1.以递推为背景，考查数列的通项公式与前n项和公式，如2012年新课标全国T16等．2.等差数列、等比数列综合考查数列的基本计算，如2012年江西T16，湖北T18等．3.考查数列与函数、不等式、解析几何的综合问题，且以解答题的形式出现，如2012年广东T19等.[归纳·知识整合]1．数列综合应用题的解题步骤(1)审题——弄清题意，分析涉及哪些数学内容，在每个数学内容中，各是什么问题．(2)分解——把整个大题分解成几个小题或几个“步骤”

2、，每个小题或每个“步骤”分别是数列问题、函数问题、解析几何问题、不等式问题等．(3)求解——分别求解这些小题或这些“步骤”，从而得到整个问题的解答．具体解题步骤如下框图：2．常见的数列模型(1)等差数列模型：通过读题分析，由题意抽象出等差数列，利用等差数列有关知识解决问题．(2)等比数列模型：通过读题分析，由题意抽象出等比数列，利用等比数列有关知识解决问题．(3)递推公式模型：通过读题分析，由题意把所给条件用数列递推式表达出来，然后通过分析递推关系式求解．[探究]　银行储蓄单利公式及复利公式分别是什么模型？提示：单利公式——设本金为a元，每期利率

3、为r，存期为n，则本利和an＝a(1＋rn)，属于等差数列模型．复利公式——设本金为a元，每期利率为r，存期为n，则本利和an＝a(1＋r)n，属于等比数列模型．[自测·牛刀小试]1．(教材习题改编)已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2的值为(　　)A．－4　　　　　　　　B．－6C．－8D．－10解析：选B　由题意知：a＝a1a4.则(a2＋2)2＝(a2－2)(a2＋4)，解得a2＝－6.2．已知log2x，log2y,2成等差数列，则M(x，y)的轨迹的图象为(　　)解析：选A　由于log2x，log2y,2

4、成等差数列，则有2log2y＝log2x＋2，所以y2＝4x.又y＞0，x＞0，故M的轨迹图象为A.2412xyz3.在如图所示的表格中，如果每格填上一个数后，每一行成等差数列，每一列成等比数列，那么x＋y＋z的值为(　　)A．1　　　B．2　　　C．3　　　D．4解析：选C　由题意知，第三列各数成等比数列，故x＝1；第一行第五个数为6，第二行第五个数为3，故z＝；第一行第四个数为5，第二行第四个数为，故y＝，从而x＋y＋z＝3.4．等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，且4a1,2a2，a3成等差数列，则S4＝________.解析：设

5、数列{an}的公比为q，∵4a2＝4a1＋a3，∴4a1q＝4a1＋a1q2，即q2－4q＋4＝0，解得q＝2.∴S4＝＝15.答案：155．已知数列{an}的前n项和为Sn，对任意n∈N*都有Sn＝an－，若1＜Sk＜9(k∈N*)，则k的值为________．解析：由Sn＝an－得当n≥2时，Sn＝(Sn－Sn－1)－，即Sn＝－2Sn－1－1.令Sn＋p＝－2(Sn－1＋p)得Sn＝－2Sn－1－3p，可知p＝.故数列是以－为首项，以－2为公比的等比数列．则Sn＋＝－×(－2)n－1，即Sn＝－×(－2)n－1－.由1＜－×(－2)k－1－

6、＜9，k∈N*得k＝4.答案：4等差数列、等比数列的综合问题[例1]　在等比数列{an}(n∈N*)中，a1>1，公比q>0，设bn＝log2an，且b1＋b3＋b5＝6，b1b3b5＝0.(1)求证：数列{bn}是等差数列；(2)求{bn}的前n项和Sn及{an}的通项an.[自主解答]　(1)证明：∵bn＝log2an，∴bn＋1－bn＝log2＝log2q为常数，∴数列{bn}为等差数列且公差d＝log2q.(2)∵b1＋b3＋b5＝6，∴b3＝2.∵a1>1，∴b1＝log2a1>0.∵b1b3b5＝0，∴b5＝0.∴解得∴Sn＝4n＋×

7、(－1)＝.∵∴∴an＝25－n(n∈N*)．在本例(2)的条件下，试比较an与Sn的大小．解：显然an＝25－n>0，当n≥9时，Sn＝≤0，∴n≥9时，an>Sn.∵a1＝16，a2＝8，a3＝4，a4＝2，a5＝1，a6＝，a7＝，a8＝，S1＝4，S2＝7，S3＝9，S4＝10，S5＝10，S6＝9，S7＝7，　　　　S8＝4，∴当n＝3，4，5，6，7，8时，anSn.———————————————————解答数列综合问题的注意事项(1)要重视审题，善于联系，将等差、等比数列与函数、不等式、方程、应

8、用性问题等联系起来．(2)对于等差、等比数列的综合问题，应重点分析等差、等比数列的通项，前n项和以及等差、等比数列项之间的关系，往往用到