高考真题——理科数学(全国2卷).doc

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1、2018年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（全国II卷）一．选择题（共12小题，每小题5分，共60分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．（）（A）（B）（C）（D）2．已知集合，则中元素的个数为（）（A）9（B）8（C）5（D）43．函数的图像大致为（）4．已知向量满足，，则（）（A）4（B）3（C）2（D）05．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（）（A）（B）（C）（D）6．在中，，，，则（）（A）（B）（C）（D）7．为计算，设计了下面的程序框图，则在空白框中应填入（）（A）（B）（C）（D）8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取

2、得了世界领先的成果。哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如。6/6在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（）（A）（B）（C）（D）9．在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）（A）（B）（C）（D）10．若在是减函数，则的最大值是（）（A）（B）（C）（D）11．已知是定义域为的奇函数，满足。若，则（）（A）（B）0（C）2（D）5012．已知是椭圆：的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为（）（A）（B）（C）（D）二．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．曲线在

3、点处的切线方程为____________。14．若满足约束条件，则的最大值为_________。15．已知，，则。16．已知圆锥的顶点为，母线所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为，若的面积为，则该圆锥的侧面积为__________。三．解答题（共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试卷考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：60分。17．（本小题12分）记为等差数列的前项和，已知，。⑴求的通项公式；⑵求，并求的最小值。18．（本小题12分）下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额6/6

4、（单位：亿元）的折线图。为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了与时间变量的两个线性回归模型。根据2000年至2016年的数据（时间变量的值依次为）建立模型①：；根据2010年至2016年的数据（时间变量的值依次为）建立模型②：。⑴分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；⑵你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由。19．（本小题12分）设抛物线：的焦点为，过且斜率为的直线与交于两点，。⑴求的方程；⑵求过点且与的准线相切的圆的方程。20．（本小题12分）如图，在三棱锥中，，，为的中点。⑴证明：平面；⑵若点在棱上，且二面角为，

5、求与平面所成角的正弦值。21．（本小题12分）已知函数。⑴若，证明：当时，；⑵若在只有一个零点，求。（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题10分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）。⑴求和的直角坐标方程；⑵若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率。23．[选修4—5：不等式选讲]（本小题10分）设函数。⑴当时，求不等式的解集；⑵若，求的取值范围。6/62018年普通高等学校招生全国统一考试（II卷）解答一．选择题DABBAABCC

6、ACD二．填空题13．；14．9；15．；16．17．解：⑴设的公差为，由题意得。由得。所以的通项公式为；⑵由⑴得，所以当时，取得最小值，最小值为。18．解：⑴利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为（亿元）。利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为（亿元）；⑵利用模型②得到的预测值更可靠。理由如下：（i）从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势。2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加

7、，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠；（ii）从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠。（以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分）19．解：⑴由题意得，：。设，由