洛必达法则的简便证明.doc

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1、洛必达法则的简便证明（以为例）柯西中值定理可用于证明洛必达法则和泰勒公式.定理（型，型）若函数和满足条件1）（是说极限为型不定式）（型中的1））2）（为实数或，）（是说在的某邻域内，有意义，且有确定的趋势），则.证明型型1.有限故，，，所以，且，由柯西中值定理，，使令，由保号性，由实数的语言形式的定义，.分子分母同除以，即.令，由及保号性，由的语言形式的定义，，即.2.从知，否则，，与假设矛盾.由无穷小与无穷大的关系，.从而化为已证的有限的情形，有，故由无穷小与无穷大的关系，.因为，，.所以，且，由柯西中值定理，，使得.分子分母同除以，有.得

2、.因，及保号性，；因，及定义，，.于是，即.由实数的语言形式的定义，.故，即.注同时满足定理的几个条件才可适用.1）只有断言时（为实数或，），洛必达法则才能使用.否则，无法使用.例如，不存在，无法使用定理作判断，其实，.2）可以在求一个极限时，多次使用.3）及时化简.如约分，或及时分离出存在极限的因子，以免因求导引起解析式更繁琐.如.