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1、第卷第期川东学刊自然科学版年月变量替换法求极限的条件陈顺清陈义安【摘要】利用变量替换法求函数极限是一种非常重要的方法。本文给出了利用变量替换法求函数的极限的前提条件。【关键词】变量替换函数机限,,,。在民因此它是极限运算的一种重要方法这种方求函数极限时有利用变量替换法可使问题化难为易,。。法应满足一定的条件而我们的《数学分析》教材没有明确指出现在我们就来讨论这种方法的
2、实质作变量替换求极限的一般形式如下令少一二少气、卜了〕一乃这个问题实际上是复合函数的极限间题能否就有若一,,在一般情况下上述结论不一定成立例如设函数‘士一。任叹优一工任一,。其中为实数集为有理数集显然夕、胜,人厂川又设函数护这时妙而复合函数犷今。‘任任一,。,。在,
3、时不存在极限应在什么条件下结论能成立呢我们来寻求它的条件要证明只须证明￡,,。,,。〕占〔占有一,,,,夕一,一￡对上述由于一日占咨时有勿〕乃,,又对上述占由日。,当一占时有、,一占令则有一么、。,,欲由式推出应满足〔古从而就有
4、一。一。,,现在问题的关键在于不能保证。要改变这条现状只有将条件加强这里有两个办法一。一是改变中川。的要求这就意味着外函数刃要在连续即可二是加强内函数,,‘,,!在。点的某邻域的条件即〕子。对任力有!护使得式成立。一。川古也能满足成立于是我们可以得出下面两个命题命题若一力在点连续则有、·,,,、、少气气少少乃,。,,注
5、命题中若在点连续则为【」中第四章圣定理即有。止一一。,。。,,注命题不仅对于,为有限数正确而且我们还可以证明它对于”,一、。士也是正确的,‘,。,,a,gy命题若且日古使得(矛)有f(x)护Alim()=B则有。,,,、、y一令f(x)1lmg、J、x夕)1img(夕)=B夕一d:,;到此我们已找出变量替换法求极限的条件若外函
6、数g(刃在y二A点连续可依命题1审查条件若外函数g(刃在y护A点不连续,则应按照命题2审查条件.oe夕一e一im例1求l。一a声一夕_,。尸一ea之二二卫,月月一a令一=夕一。,当夕、。时t”o=e,u又令一1,O则t=如l+e刀一ea·we。we一-口V=1ime工故lim1im-nv户一口夕一atOI(l+)0nv一~I(l+):n。,,二二。,。。,。注3这里liml(l+)告一1利用命题1外函数ln在一连续内函数(l+)告(护0)当净。时有极限存在。:f(x)-(一z)[今]xx笋。例2fy少任
7、I_g、y夕一凡yeQ一lU{0}其中I为无理数集x))求1img(f(二~.0:。,x解1imf(x)=0且Vx任U(0)f()铸0limg(夕)=o名O一:由命题2知limg(f(x))=limg妙)=o:,,.,,注4在例中g(刃在y一。点不连续它不满足命题l的条件由此可知命题2提供了变量替换法求极,。限更为广泛的类型它弥补了我们教材的不足参考文献1《数学分析》人民教育出版社1980,【」华东师大数学系〔幻复旦大学数学系《数学分析》上海科学技术出版社198。陈顺清系本校数学系副教授陈义安系本校数学
8、系青年教师
