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《高中数学竞赛辅导讲义第十六章 平面几何.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第十六章平面几何一、常用定理（仅给出定理，证明请读者完成）梅涅劳斯定理设A',B',C'分别是ΔABC的三边BC，CA，AB或其延长线上的点，若A',B',C'三点共线，则BA'CB'AC'××=1.A'CB'AC'BBA'CB'AC'梅涅劳斯定理的逆定理条件同上，若××=1.则A',B',C'三A'CB'AC'B点共线。塞瓦定理设A',B',C'分别是ΔABC的三边BC，CA，AB或其延长线上BA'CB'AC'的点，若AA',BB',CC'三线平行或共点，则××=1.A'CB'AC'B塞瓦定理的逆定理设A',B',C'分别是ΔABC的三边
2、BC，CA，AB或其BA'CB'AC'延长线上的点，若××=1.则AA',BB',CC'三线共点或互相平A'CB'AC'B行。角元形式的塞瓦定理A',B',C'分别是ΔABC的三边BC，CA，AB所在直线上的点，则AA',BB',CC'平行或共点的充要条件是sinÐBAA'sinÐACC'sinÐCBB'××=1.sinÐA'ACsinÐC'CBsinÐB'BA广义托勒密定理设ABCD为任意凸四边形，则AB•CD+BC•AD≥AC•BD，当且仅当A，B，C，D四点共圆时取等号。斯特瓦特定理设P为ΔABC的边BC上任意一点，P不同于B，C，则
3、有22PC2BPAP=AB•+AC•-BP•PC.BCBC西姆松定理过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线。西姆松定理的逆定理若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在三角形的外接圆上。九点圆定理三角形三条高的垂足、三边的中点以及垂心与顶点的三条连线段的中点，这九点共圆。蒙日定理三条根轴交于一点或互相平行。（到两圆的幂（即切线长）相等的点构成集合为一条直线，这条直线称根轴）1欧拉定理ΔABC的外心O，垂心H，重心G三点共线，且OG=GH.2二、方法与例题1．同一法。即不直接去证明，而是作出满足条件的图形或点
4、，然后证明它与已知图形或点重合。00例1在ΔABC中，∠ABC=70，∠ACB=30，P，Q为ΔABC内部两点，00∠QBC=∠QCB=10，∠PBQ=∠PCB=20，求证：A，P，Q三点共线。[证明]设直线CP交AQ于P1，直线BP交AQ于P2，因为∠ACP=∠0APACPCQ=10，所以=，①在ΔABP，ΔBPQ，ΔABC中由正弦定理QPCQ1有ABAP2QP2BQABAC=，②=，③=.④000sinÐAPBsinÐABPsin20sinÐBPQsin30sin70222APAP12由②，③，④得=。又因为P1，P2同在线段AQ上，所
5、以P1，QPQP12P2重合，又BP与CP仅有一个交点，所以P1，P2即为P，所以A，P，Q共线。2．面积法。例2见图16-1，◇ABCD中，E，F分别是CD，BC上的点，且BE=DF，BE交DF于P，求证：AP为∠BPD的平分线。[证明]设A点到BE，DF距离分别为h1,h2，则11S=BE´h,S=DF´h,DABE1DADF2221又因为S=S◇ABCD=SΔADF，又BE=DF。DABE2所以h1=h2，所以PA为∠BPD的平分线。3．几何变换。例3（蝴蝶定理）见图16-2，AB是⊙O的一条弦，M为AB中点，CD，EF为过M的任意弦
6、，CF，DE分别交AB于P，Q。求证：PM=MQ。[证明]由题设OM^AB。不妨设AF£BD。作D关于直线OM的对称点D'。连结PD',D'M,DD',D'F，则D'M=DM.ÐPMD'=ÐDMQ.要证PM=MQ，只需证ÐPD'M=ÐMDQ，又∠MDQ=∠PFM，所以只需证F，P，M，D'共圆。000因为∠PFD'=180-MDD'=180-∠MD'D=180-∠PMD'。（因为DD'^OM。AB//DD'）所以F，P，M，D'四点共圆。所以ΔPD'M≌ΔMDQ。所以MP=MQ。例4平面上每一点都以红、蓝两色之一染色，证明：存在这样的两个相
7、似三角形，它们的相似比为1995，而且每个三角形三个顶点同色。[证明]在平面上作两个同心圆，半径分别为1和1995，因为小圆上每一点都染以红、蓝两色之一，所以小圆上必有五个点同色，设此五点为A，B，C，D，E，过这两点作半径并将半径延长分别交大圆于A1，B1，C1，D1，E1，由抽屉原理知这五点中必有三点同色，不妨设为A1，B1，C1，则ΔABC与ΔA1B1C1都是顶点同色的三角形，且相似比为1995。4．三角法。例5设AD，BE与CF为ΔABC的内角平分线，D，E，F在ΔABC的边0上，如果∠EDF=90，求∠BAC的所有可能的值。[解]
8、见图16-3，记∠ADE=α，∠EDC=β，pp由题设∠FDA=-α，∠BDF=-β，22AEDECEDE由正弦定理：=,=，sinaAsinbsinCsin2AEsinasin
