等几何分析的多重网格共轭梯度法.pdf

《等几何分析的多重网格共轭梯度法.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、应用数学和力学，第３５卷第６期ＡｐｐｌｉｅｄＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓａｎｄＭｅｃｈａｎｉｃｓ２０１４年６月１５日出版Ｖｏｌ．３５，Ｎｏ．６，Ｊｕｎ．１５，２０１４文章编号：１０００⁃０８８７（２０１４）０６⁃０６３０⁃１０ⓒ应用数学和力学编委会，ＩＳＳＮ１０００⁃０８８７∗等几何分析的多重网格共轭梯度法１２１２１刘石，陈德祥，冯永新，徐自力，郑李坤（１．广东电网公司电力科学研究院，广州５１００８０；２．西安交通大学航天航空学院；机械结构强度与振动国家重点实验室，西安７１００４９）摘要：提高ＮＵＲＢＳ

2、基函数阶数可以提高等几何分析的精度，同时也会降低多重网格迭代收敛速度．将共轭梯度法与多重网格方法相结合，提出了一种提高收敛速度的方法，该方法用共轭梯度法作为基础迭代算法，用多重网格进行预处理．对Ｐｏｉｓｓｏｎ（泊松）方程分别用多重网格方法和多重网格共轭梯度法进行了求解，计算结果表明：等几何分析中采用高阶ＮＵＲＢＳ基函数处理三维问题时，多重网格共轭梯度法比多重网格法的收敛速度更快．关键词：等几何分析；多重网格；共轭梯度法；Ｐｏｉｓｓｏｎ方程；迭代算法；ＮＵＲＢＳ中图分类号：Ｏ２４１．８２文献标志码：

3、Ａｄｏｉ：１０．３８７９／ｊ．ｉｓｓｎ．１０００⁃０８８７．２０１４．０６．００５引言［１］等几何分析是求解偏微分方程的一种新数值方法，它与有限元法一样都基于Ｇａｌｅｒｋｉｎ变分，但是采用非均匀有理Ｂ样条（ＮＵＲＢＳ）作为基函数．因为ＮＵＲＢＳ基函数在单元边界上能ｋ［２⁃３］够实现Ｃ（ｋ≥１）连续性，提高光滑性ｋ可以提高数值解的精度，所以等几何分析在精度［４］方面优于传统有限元方法．当等几何分析产生的代数方程规模很大时，直接求解计算成本过高，一般采用迭代方法求［５⁃６］［７⁃８］解．多重网格迭代是

4、一种高效的迭代算法，该方法在有限容积法、有限差分法和有限元［９］［１０］方法中的研究较多，但在等几何分析中的研究较少，仅Ｇａｈａｌａｕｔ等在２０１３年研究了用多重网格算法求解等几何分析中的代数方程．文献［１０］的结果表明多重网格方法具有很快的收敛速度，但是当基函数的次数或光滑性增加时，多重网格的收敛速度降低．因此，在提高基函数光滑性获得更高精度的同时，多重网格的效率也随之降低．多重网格的基本思想是在密网格上进行光顺，使高频误差衰减，在粗网格上进行误差修［７］正，使低频误差衰减．常用的光顺算法是Ｊａ

5、ｃｏｂｉ迭代或Ｇａｕｓｓ⁃Ｓｅｉｄｅｌ迭代，随着基函数光滑性升高，Ｊａｃｏｂｉ迭代或Ｇａｕｓｓ⁃Ｓｅｉｄｅｌ迭代的光顺效果降低，多重网格的收敛速度降低．共轭梯度法是一种Ｋｒｙｌｏｖ子空间迭代方法，它适用于系数矩阵为对称正定的情况．理论上若代数方程的维数为ｎ，那么进行ｎ次共轭梯度法迭代将收敛到精确解；实际计算中共轭梯度法的收敛速度快［１１］慢取决于所采用的预处理矩阵能否聚集系数矩阵的特征值．多重网格方法可看成用简单迭∗收稿日期：２０１３⁃１２⁃０３；修订日期：２０１４⁃０５⁃０４基金项目：国家重点基

6、础研究发展计划（９７３计划）（２０１１ＣＢ７０６５０５）；国家自然科学基金（５１２７５３８５）作者简介：刘石（１９７４—），男，湖北大冶人，高级工程师，博士（Ｅ⁃ｍａｉｌ：１３９２５０４１５１６＠１３９．ｃｏｍ）；陈德祥（１９７９—），男，合肥人，博士生（通讯作者．Ｅ⁃ｍａｉｌ：ｃｄｘ９７＠ｔｏｍ．ｃｏｍ）．６３０刘石陈德祥冯永新徐自力郑李坤６３１代方法求解某个预处理矩阵作用下的代数方程，这个预处理矩阵能够有效聚集矩阵特征值，用［１２］多重网格预处理能够提高共轭梯度法的收敛速度．本文提出了一种适用

7、于等几何分析的多重网格共轭梯度法，当ｋ较高时，那些在多重网格中衰减较慢的误差可在共轭梯度法中快速衰减．本文用等几何分析对二维和三维Ｐｏｉｓｓｏｎ方程进行了计算，分别用多重网格法和多重网格共轭梯度法来求解线性方程组，结果表明ＮＵＲＢＳ基函数阶数增加时多重网格共轭梯度法的收敛速度更快．１多重网格法多重网格方法需要使用疏密不同的多组网格，等几何分析的疏密网格在计算中通过节点［２］插入自动生成．多重网格方法还需要在不同网格之间进行转换，文献［１０］使用了网格转换矩阵，但没有给出计算关系式，本文根据离散Ｂ样

8、条首次给出了等几何多重网格方法的转换矩阵关系式．１．１网格转换矩阵Ｈｈｈ对一维情况，给定两组节点向量ξ和ξ，上标Ｈ，ｈ分别表示与疏、密网格相关的量，ξｉｊｊＨＨｎＨｈｎｈ是由ξ插入节点得到的．由这两组节点向量定义的Ｂ样条基函数{Ｎ}和{Ｎ}满足如ｉｉｉ＝１ｊｊ＝１［１３］下线性变换关系：ｎｈＨｋｈＮ＝∑ＲＮ，（１）ｉｉ，ｊｊｊ＝１ｒ式中ｋ为Ｂ样条的阶数．Ｒ（ｒ＝１，２，…，ｋ）对ｒ满足如下递归关系：ｉ，ｊｒｒｒ－１ｒｒ－１Ｒ＝ωＲ＋（１－ω）Ｒ，（２）ｉ，ｊｉ，ｊｉ，ｊｉ＋１，ｊｉ