清北学堂数学讲座_几何部分(有更新)(125刘永明老师更.pdf

《清北学堂数学讲座_几何部分(有更新)(125刘永明老师更.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、清北学堂数学讲座--几何部分刘永明第一讲复数与几何复数的形式zxy=+i，x,yR∈，x称为的实部，记作zx=Re()z，y称为的虚部，z2记作y=Im()z，i称为虚数单位，满足i=−1，在直角坐标系OXY上每一点(,)xy都与一个复数zxy=+i对应，这个坐标平面称为复平面.OX轴称为实轴，OY轴称为虚轴，O称为原点，用复数0表示.实数集合是复数集合的子集.JJG22我们还可以把复数zxy=+i看成是平面向量Oz，把这向量的长度rxy=+称为复数zxy=+i的模，把复数zxy=+i写成zr=(cosθ+isin)θ，则当z≠0时，

2、θ就是向量的方向，称满足条件θ∈−(,ππ]的θ为复数zr=(cosθ+isin)θ的幅角，记为θ=argz.两个复数相加就是两个向量的相加:(i)(i)()ix+yxyxxyy++=+++()，满足11221212平行四边形法则.

3、

4、zzzz+≤+

5、

6、

7、

8、，等式成立当且仅当两向量同方向.1212iθiθ记ec=+osiθsinθ，则zr=e，这个记号明显地指出了复数的向量性质，r表示长度，θ表示方向.不仅如此，这种记号还有其特殊的优点：以下用exp()表示指数函数.设有复数zr=+=(cosθisin)θθrexp(i)，zr=(c

9、osθ+=isinθθ)exp(i)，111111222222复数加法和乘法法则和实数的类似，只是要注意i1=−.zzrr⋅=⋅[(cosθcosθθθθθθθ−sinsin)i(sin+cos+cossin)]121212121212=⋅rr[cos(θ++θθ)isin(+θ)]121212=rrexp(i(θ+θ))就像满足指数函数的运算法则一样！1212=⋅rrexp(i)θexp(iθ)1122以上恒等式表示，用模为幅角为rθ的非零复数乘以另一非零复数，其幅角增加θ，模乘以r.因此有棣莫佛定理n*复数zr=+(cosθisi

10、n)θ的次方为nrnn(cosθ+isinθ)，nN∈复数zr=+(cosθisin)θ的个次方根为nn1/n⎛⎞θ++22kkπθπ*zr=+⎜⎟cosisin，kn=0,1,...,−1，nN∈k⎝⎠nn1清北学堂数学讲座--几何部分刘永明n−11/n当n>1时，{zk}均匀分布在半径为r的圆上.且∑zk=0，其证明可利用复数的指数形k=0⎧+1/n⎛⎞θ2kπ⎫⎛⎞2π式，把{}zr=⎨⎬expi⎜expik⎟看成是公比为复数⎜⎟的数列，故其和为⎩⎭⎝⎠n⎝⎠n⎛⎞2nπexpi⎜⎟−1nn−−111/n⎛⎞θ+2kπ1/n⎛⎞

11、θ⎝⎠n∑∑zrk=expi⎜⎟==rexpi⎜⎟0kk==00⎝⎠n⎝⎠n⎛⎞2πexpi⎜⎟−1⎝⎠nzz,连线的中点为()zz+/2，以zzz,,为顶点的三角形的重心为1212123n1(zzz123++)/3，可推广为以zz1,…n为顶点的多边形的重心为∑zk.nk=1222复数zxy=+i的共轭zxy=−i，zz⋅=+(i)xyxyxy(i)−=+=

12、

13、z，z+=zx21izxyxy−−izz1z112所以非零复数的倒数z===，=⋅=z222221zzzxy+

14、

15、zzzz

16、

17、22设以zzz,,为顶点的三角形Δzzz：123

18、123（1）如Δzzz的外心位于原点，则三角形的垂心位于zzz++123123111i（2）Δzzz的面积为行列式zzz（有正负号）1231234zzz123以zz,为端点的直线段的中垂线方程为

19、

20、zzzz−=−

21、

22、1212以z为圆心，半径为r>0的圆方程为zzr=+exp(i)θ00以zz,为焦点，实轴长为2a>0，0

23、

24、2，的椭圆方程为1212

25、

26、zz−+−=

27、

28、zz2a12以zz,为焦点，实轴长为2a>0，

29、

30、zz−>2a，的双曲线方程为1212

31、

32、z−−−=zz

33、

34、z2a12zz−12若三不同点zzz,,共线⇔=k

35、R∈，k≠0123zz−322清北学堂数学讲座--几何部分刘永明定理：点zzzz,,,共圆（特殊情况共线，相当于半径无穷大的圆）的充分必要条件是1234()zzzz−−()1324=∈λR（当λ=0时，表示有点重合）()zzzz−−()1423例：证明zzz,,共线⇔存在三个不全为零的实数λ,,λλ满足λ++=λλ0，123123123λzzz++=λλ0.112233zz−12证明：必要性：若三不同点zzz,,共线⇒=λ∈R⇒(1λ−)zzz−+=λ0123123zz−32若三点中有两个相同，不妨设zz=，zz≠，则以上论证仍成立。

36、122311若三个点相同，则zzz−−=0满足要求.12322充分性：不妨设λ≠0，实数λ,,λλ满足λ+λλ+=0，解出λ=−+(λλ)，代入3123123123zz−λ312λzzz++=λλ0，得λ()()zz−+