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1、浅析二次函数在高中教学中的应用【摘要】在高中阶段的学习过程中，函数思想贯穿始终，而可以说对高中每个知识点的学习都能看到二次函数的身影，在每年数学高考中二次函数占的比例都很高。因此学好二次函数尤为重耍。本文从二次函数的基本概念和基本性质着手，并对在不等式、导数、解析几何中的应用进行了一定阐述，希望能够对在高中辛勤付出的广大教育工作者带来些许帮助。【关键词】二次函数；基本性质；不等式；导数；解析几何一、深抓概念，牢固掌握二次函数基础知识在初中阶段就对函数的定义进行了相应的阐述，指出而随着高中知识的深入，对函数的概念通过从映射的
2、角度进行了从新解释，但仍具有普通函数的基本素和特性等。本文以二次函数的概念和基础知识为例，加固对基础知识概念的理解。即二次函数是从一个集合A(定义域)按照一定的对应关系f映射到集合B(值域)中，使集合B中元素y与集合A中的元素x按照y=ax2+bx+c(aHO)的关系对应,记为f(x)=ax2+bx+c(aHO),学生只有深刻掌握基本概念后才能做到更好的应用。例如对以下问题的求解：类型I：己知f(x+1)二x2-4x+l求f(x)分析：对于此例题的求解如果充分掌握理解函数的概念定义，找出那个是自变量，那个是因变量，并判断出
3、它们之间的对应关系，那么此问题便很好解决。因此可从两个方面入手结果此问题：①将所给表达式通过配方法转换成X+1的表达式：f(x+1)二(x+1)2-6(x+1)+6,然后将函数中的自变量x+1用x替代，即为所求表达式f(x)=x2-6x+6o②直接用变量换元的方法假设t二x+1,那么X=t-1,带入所给表达式可知f(t)=t2-6t+6,因此f(x)=x2~6x+6o二、二次函数基本性质的应用在高中阶段对基本性质的考察主要围绕着二次函数的单调性、奇偶性和有界性(最值问题)等方面，而对单调性和有界性的考察最为常见，因此，必须
4、让学生对基本性质的应用熟练掌握，尤其是单调性和冇界性相结合的系统考察。类型II：已知函数f(x)二x2-2x+3,求函数在区间［m,m+1］内的最小值。分析：由函数图像可知，对淋轴为x=l,在区间(―,1］±是递减函数，在［1,+8)上是增函数，而区间［m,m+1］中m的数值不确定，那么应当对所求区间的大小和1进行分类讨论，以便求出最小值点。解：根据函数f(x)的图像可知，对称轴为x二1,那么「(X)在x二1时取得最小值为fmin(x)=f(1)=2O当ml时，那么fmin(x)二f(m)=m2-2m+lo三、二次函数在二
5、次方程和二次不等式中的应用在高中阶段针对求解一元二次方程ax2+bx+c=0(aHO)根的问题比较普遍，在求解过程中往往转化成函数f(x)=ax2+bx+c(aHO)的零点求解问题，而对于二次不等式的求解问题主要是先转换成二次方程根的求解，然后在坐标轴上画出根的位置，最后根据所求不等式的范围确定所取X值的范围，即是所求不等式的范围，但值得注意的是在求解过程中一定要求学生对二次函数定义域、值域、单调性等概念的熟练掌握理解透彻。类型Ill：已知函数f(x)二(4~3a)x2-2x+a,若OWxWl,x为自变量，a为常数，证明当
6、a>■时，f(x)Wa。分析：根据所给的已知条件，判断4-3a和0之间的关系，然后确定函数图像的确切开口方向和精确的对称轴位置，然后利用二次函数的单调性和有界性进行求解分析。证明：根据已知条件a>■可知，4-3以0,且函数f(x)的对称轴为x二■〈()，那么当x的取值小于等于对称轴时，函数f(x)在相应的确定区间内单调递增函数，当x的取值大于对称轴时，函数f(X)在相应的区间上是递减函数，故函数f(x)在区间［0,1］上时为单调递减函数，即f(x)Wfmax(x)=f(0)二a。四、二次函数在导数中的应用针对二次函数在导数
7、屮的应用，考察最多的就是极值、最值问题，但必须注意在特殊点的可导性问题，这也是很多学生最容易出现问题的地方。类型IV：已知函数f‘(x)二3x2+2x,求f(X)在何处取极小值分析：题目已经给出了函数f(x)的表达式，只需求出「(x)二0的点和判断出在不同范围内的单调性即可求出函数f(x)的极值。解：当f‘(x)=3x2+2x=0时,解得xl=0,x2二一■,当x在(一8,-2/3)区间时，(x)>0,故函数f(x)在相应的区间上单调递增；当xe(0,-f‘(x)0,故函数f(x)在相应的区间上单调递增，因此函数f(x)在
8、x=0时取极小值f(0)二0。五、二次函数在解析几何中的应用二次函数在解析几何中的应用在高考题中往往出现在压轴题或高档题屮，主耍考察位置关系、最值和轨迹问题，在解决直线和所给曲线的位置关系问题时，主要是考察两个曲线方程组成的二次函数有无实数根或几个实数根的问题，应当注意的是，针对此综合性的问题应当充分利
