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1、江西省2008年1月高等教育自学考试厂厶F1=1拓扑学基础试卷数学教育(本科)专业总分・•题号・一•二＞三・四・五・六・七・•题号•一•—•三・四・五・六•七・题号・—•二・三・四・五・六・七・一•二・三・四・五・六・七・二・三・四・五・六・七・三・四・五・六・七.四・五・六・七・五・六・七・六・七・七・总分题号—-三四核分人题分2()201248复查人得分一、单项选择题(在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题干后的括号内。错选、多选或未选均无分。每小题2分，共20分)1、设X二{1
2、,2,3},则下列是X的拓扑的是()A、{X,0,{1}}B、{X,0,{1,2},{2,3}}C、{X,0,{2},{3}}D、{X,0,{1},{2},{3}}2、下列有关连续映射/:XTY正确的是()A、对X屮的任意开集［/,有/(U)是Y屮的一个开集B、Y屮的任何一个闭集有厂'(B)是X屮的一个闭集C、Y屮的任何一个了集A,有r，(A)c/-'(A)D、若/还是一一映射，则/是一个同胚映射3、设X和Y是两个拓扑空间，A是X的一个了集，则下列错误的是()A、若/:XtY是连续的，则/l4:AtX也是连续的B
3、、若/:XtY是一个同胚，则fl4:A^/(A)也是一个同胚。c、.f：xT.f(X)是一个连续映射，则/：x-»r不一定是一个连续映射D、若x可嵌入r,则x的任何一个子空间也可嵌入Y4、设X是一个拓扑空间，AuX,则3(A)=()A、/Tc/TB、＞4°uX，oZC、9(/4°)D、-A)5、下列有关连通性的命题正确的是()A、若4和B是拓扑空间X屮的两个隔离子集，且X=A^jB,则X是不连通的。B、有理数集0作为实数空间了空问是一个连通空间C、若片,乙均为X的连通子集，且Y、cY严©，则Y^Y2也是X的一个连
4、通子集D、设Y是X的一个连通了集，ZuX,若YuZ,则Z也是X的一个连通了集6、下列拓扑性质屮，没有继承性的是【】A、7；空间B、％空间C、7；空间D、7；空间7、卜列有关命题，正确的是()A、若拓扑空问X是连通的，则X一定是局部连通的B、若拓扑空间X是道路连通的，则X—定是连通的C、若拓扑空间X是局部连通的，则X—定是道路连通的D、若拓扑空问X是连通的，则X一定是道路连通的8、下列有关实数空间，不正确的是()A、它满足第一可数性公理B、它满足第二可数性公理C、它的任何一个子空间都满足第二可数性公理D、它的任何一
5、个了空问祁是连通的9、下列有关Lindeldff空间的描述正确的是()A、任何一个满足第二可数性公理的空间都是Lindedff空间B、任何一个Lindeldff空间都是第二可数性空间C、Lindeloff空间的了空间还是Lindeoff空间D、满足第一可数性公理的空问的每一个了空间都是Lindedff空间10、设A是度量空间(X,。)屮的一个非空子集，则下列命题错误的是()A、xed(A)当且仅当p(x,A-{x})=0B、xed(A)当且仅当p(x,A)=0C、对且有B(x,£)c4工0,则人为X屮的一个开集D
6、、xgA当且仅当p(x,A)=0二、填空题(每空2分，共20分)请将答案写在横线上。1、若拓扑空间X有一个可数稠密子集，则称是一个2、拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它在任何一个连续映下的象所具有，则称这个性质是一个。3、设E是实数空间的一个了集，E是一个连通了集当且仅当£是一个。4、实数空间屮的有理数集Q,则d（Q）=。5、设丫是拓扑空间（X,丿）的一个子空间，则丫的拓扑为o6、实数空间的一个基是-7、集合X的两个度量p、和d是等价的，若人是（X,口）屮的一个闭集，则A是（X,pj屮的一个集
7、。8、恰含2个点的拓扑空间一共有个同胚等价类。9、设X是一个拓扑空间，DuX,若。是^的一个稠密子集，则万二。10、设X是一个拓扑空间，C是X的一个连通分支，则个二。彳盼iWA1、紧致空间三、名词解释（每小题3分，共12分）2、同胚映射3、不连通空间4、稠密了集WAMSA四、证明题（第1小题8分，其余每小题10分，共48分）1、（8分）设（X,°）是一个离散的度量空问，证明:（1）（4分）X的每一个了集祁是开集（2）（4分）若丫也是一个度量空间，则任何映射f：X^Y都是连续的2、（10分）设X={aM，J={X^
8、{ayh},{b}}（1）（3分）验证丿是X的一个拓扑（2）（7分）若A={/?,c},求d（A）3、（10分）设X和丫是两个拓扑空间，/:XtY,证明以下两个条件等价（I）f连续；（2）对于丫的每一个了集B,有广】（B°）u（广IB））。4、（10分）设丫是拓扑空间X的一个了集，证明：歹是X的一个不连通子集，当且仅当X屮存在两个非空集合4和B,使得丫uAuB,瓜c月=0
