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1、第一模块集合与常用逻辑用语第一讲集合的概念及简单运算教材知识整合回归教材1.元素与集合(1)一般地,指定的某些对象的全体称为集合;集合中的每个对象叫作这个集合的元素.(2)若元素a在集合A中,就说元素a属于集合A,记作a∈A;若元素a不在集合A中,就说元素a不属于集合A,记作a∉A.(3)集合的元素具有三个特性:确定性、互异性、无序性.(4)根据集合中元素的多少,集合可分为三类:有限集、无限集、和空集.2.集合的基本关系(1)对于两个集合A与B,如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素,即若a∈A,则a∈B
2、,我们就说集合A包含于集合B,或集合B包含集合A,记作A⊆B,这时我们说集合A是集合B的子集.(2)对于两个集合A与B,如果A⊆B且B⊆A,则集合A与集合B相等,记作A=B;如果A⊆B且B⊈A,则集合A是集合B的真子集.(3)空集是任何一个集合的子集,是任何一个非空集合的真子集.(4)若有限集A中有n个元素,则A的子集有2n个;非空子集有2n-1个;非空真子集有2n-2个.(5)若A⊆B,B⊆C,则A⊆C.3.集合的基本运算(1)A∩B={x
3、x∈A,且x∈B};A∪B={x
4、x∈A,或x∈B};∁UA={x
5、
6、x∈U,且x∉A}.(2)集合中的常用运算性质①A∩B=B∩A,A∩B⊆A,A∩B⊆B,A∩A=A,A∩∅=∅;②A∪B=B∪A,A⊆A∪B,B⊆A∪B,A∪A=A,A∪∅=A;③A∪(∁UA)=U,A∩(∁UA)=∅;④∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB);∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB).基础自测1.(2010·陕西)集合A={x
7、-1≤x≤2},B={x
8、x<1},则A∩B=()A.{x
9、x<1}B.{x
10、-1≤x≤2}C.{x
11、-1≤x≤1}D.{x
12、-1≤x<1}答案:D2.(2010·辽宁)
13、已知集合U={1,3,5,7,9},A={1,5,7},则∁UA=()A.{1,3}B.{3,7,9}C.{3,5,9}D.{3,9}答案:D3.(2010·湖北)设集合B={(x,y)
14、y=3x},则A∩B的子集的个数是()A.4B.3C.2D.1答案:A4.(2010·天津)设集合A={x
15、
16、x-a
17、<1,x∈R},B={x
18、119、0≤a≤6}B.{a
20、a≤2,或a≥4}C.{a
21、a≤0,或a≥6}D.{a
22、2≤a≤4}解析:由不等式
23、x-a
24、
25、<1得a-126、x2+mx=0},若∁UA={1,2},则实数m=________.答案:-3重点难点突破题型一元素与集合的关系【例1】已知集合A={x
27、ax2-3x+2=0},若A中元素至多有一个,求a的取值范围.[解](1)a=0时,原方程为-3x+2=0,x=,符合题意;(2)a≠0时,方程ax2-3x+2=0为关于x的一元二次方程,当Δ=9-8a≤0时,即
28、a≥时,关于x的方程ax2-3x+2=0无实数根或有两个相等的实数根,都符合题意.综上所述,a的取值范围为a=0或a≥.X[点评]解题时要注意集合中元素的特性,尤其要利用无序性和互异性检验解的正确性.变式1:已知集合A={a+1,3a-2,a2-6},且10∈A,求实数a的取值所组成的集合.解:∵10∈A∴①若a+1=10,则a=9,此时3a-2=25,a2-6=75,即A={10,25,75}.②若3a-2=10,则a=4,此时a+1=5,a2-6=10不符合题意.③若a2-6=10,则a=4或a=-4,当a
29、=4时不合题意当a=-4时,A={-3,-14,10}.综上,实数a的取值所组成的集合为{9,-4}.题型二集合基本运算【例2】①(2010•北京)集合P={x∈Z
30、0≤x<3},M={x∈R
31、x2≤9},则P∩M=()A.{1,2}B.{0,1,2}C.{x
32、0≤x≤3}D.{x
33、0≤x≤3}[答案]B[答案]A③若集合A={x
34、2x2-7x+3≤0},B={x
35、x2-4<0},则A∪B=()B.(-∞,-2)∪(3,+∞)C.(-2,3]D.(2,3][答案]C[点评]集合的基本运算经常结合不等式的解法以及
36、函数的性质综合在一起考查,解题时要特别注意集合中代表元素的意义,求集合的交、并、补的运算时,可借助数轴求解.变式2:(2010•江西理数)若集合A={x
37、
38、x
39、≤1,x∈R},B={y
40、y=x2,x∈R},则A∩B=()A.{x
41、-1≤x≤1}B.{x
42、x≥0}C.{x
43、0≤x≤1}D.∅答案:C题型三含参数的集合问题【例3】设A={x
44、x2-8x+15=0},B={x
45、ax-1=0}