信息增益和信息熵.ppt

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1、信息增益定义信息增益（informationgain）是指期望信息或者信息熵（1）的有效减少量（通常用“字节”衡量），根据它能够确定在什么样的层次上选择什么样的变量来分类。（1）信息熵是指对信息具体的量化度量问题。信息论之父C.E.Shannon第一次用数学语言阐明了概率与信息冗余度的关系。Shannon指出，任何信息都存在冗余，冗余大小与信息中每个符号（数字、字母或单词）的出现概率或者说不确定性有关。Shannon借鉴了热力学的概念，把信息中排除了冗余后的平均信息量称为“信息熵”，并给出了计算信息熵的数学表达式。信息理论的鼻祖之一ClaudeE.Shannon把信息（熵）定义为离散随机

2、事件的出现概率。所谓信息熵，是一个数学上颇为抽象的概念，在这里不妨把信息熵理解成某种特定信息的出现概率。而信息熵和热力学熵是紧密相关的。根据CharlesH.Bennett对Maxwell‘sDemon的重新解释，对信息的销毁是一个不可逆过程，所以销毁信息是符合热力学第二定律的。而产生信息，则是为系统引入负（热力学）熵的过程。所以信息熵的符号与热力学熵应该是相反的。一般而言，当一种信息出现概率更高的时候，表明它被传播得更广泛，或者说，被引用的程度更高。我们可以认为，从信息传播的角度来看，信息熵可以表示信息的价值。这样子我们就有一个衡量信息价值高低的标准，可以做出关于知识流通问题的更多推论

3、。信息熵的计算公式H(x)=E[I(xi)]=E[log(1/p(xi))]=-∑p(xi)log(p(xi))(i=1,2,..n)信息熵和信息增益的计算当我们需要对一个随机事件的概率分布进行预测时，我们的预测应当满足全部已知的条件，而对未知的情况不要做任何主观假设。在这种情况下，概率分布最均匀，预测的风险最小。因为这时概率分布的信息熵最大，所以称之为“最大熵法”。最大熵法在数学形式上很漂亮，但是实现起来比较复杂，但把它运用于金融领域的诱惑也比较大，比如说决定股票涨落的因素可能有几十甚至上百种，而最大熵方法恰恰能找到一个同时满足成千上万种不同条件的模型。这里我们先不讨论算法（这里用的是

4、ID3/C4.5），把一棵决策树建立起来再说。我们要建立的决策树的形式类似于“如果天气怎么样，去玩；否则，怎么着怎么着”的树形分叉。那么问题是用哪个属性（即变量，如天气、温度、湿度和风力）最适合充当这颗树的根节点，在它上面没有其他节点，其他的属性都是它的后续节点。借用信息论的概念，我们用一个统计量，“信息增益”（InformationGain）来衡量一个属性区分以上数据样本的能力。信息增益量越大，这个属性作为一棵树的根节点就能使这棵树更简洁，比如说一棵树可以这么读成，如果风力弱，就去玩；风力强，再按天气、温度等分情况讨论，此时用风力作为这棵树的根节点就很有价值。如果说，风力弱，再又天气晴

5、朗，就去玩；如果风力强，再又怎么怎么分情况讨论，这棵树相比就不够简洁了。计算信息增益的公式需要用到“熵”（Entropy）。名词越来越多，让我们通过手工计算记住它们的计算方法，把Excel打开。1计算熵我们检查的属性是是否出去玩。用Excel对上面数据的play变量的各个取值排个序（这个工作簿里把“play”这个词去掉），一共是14条记录，你能数出取值为yes的记录有9个，取值为no的有5个，我们说这个样本里有9个正例，5个负例，记为S(9+,5-)，S是样本的意思(Sample)。这里熵记为Entropy(S),计算公式为：Entropy(S)=-(9/14)*log(9/14)-(5

6、/14)*log(5/14)解释一下，9/14是正例的个数与总记录之比，同样5/14是负例占总记录的比例。log(.)是以2为底的对数（我们知道以e为底的对数称为自然对数，记为ln(.),lg(.)表示以10为底的对数）。在Excel里我们可以随便找一个空白的单元格，键入以下公式即得0.940：=-(9/14)*LOG(9/14,2)-(5/14)*LOG(5/14,2)这里LOG(9/14,2)中的“2”表示以2为底。类似地，如果你习惯用Matlab做数学运算本，公式为-(9/14)*log2(9/14)-(5/14)*log2(5/14)其中“2”的含义与上同。总结在这个例子中，我们

7、的输出属性（我们要检查的属性）“play”只有两个取值，同样地，如果输出属性的取值大于2，公式是对成的，一样的形式，连加就是，找到各个取值的个数，求出各自的比例。如果样本具有二元输出属性，其熵的公式为Entropy(S)=-(p+)*log(p+)-(p-)*log(p-)其中，p+、p-分别为正例和负例占总记录的比例。输出属性取值大于2的情况，公式是对称的。Entropy(s)=-∑(pi)log2(pi)(i=1,2,…,n)2