计量经济学第2章一元线性回归模型.ppt

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1、1第2章一元线性回归模型§2.1模型的建立及其假定条件1.回归分析的概念回归分析是处理变量与变量之间关系的一种数学关系。经济变量之间的关系，一般分为两类：一类是变量之间存在的确定函数关系；Yi=PXi另一类是变量之间存在着非确定的依赖关系。Yi=f(Xi)+ui回归分析的理论和方法是计量经济模型估计理论和估计方法的主要内容。22.一元线性回归模型例如：Yi=β1+β2Xi+ui其中Yi某市城镇居民年人均鲜蛋需求量，称作被解释变量；Xi某市城镇居民年人均可支配收入，称作解释变量；ui随机误差项（随机扰动项或随机项、误差项）；β1、β2回归系数（待定系数或待定

2、参数）。随机误差项ui中一般包括以下几个方面的因素：（1）回归模型中省略的变量；（2）人们的随机行为；（3）建立的数学模型的形式不够完善；（4）测量误差。3Y0XYi’=β1+β2Xi表示X与Y之间的线性部分，称作总体回归直线。样本值与回归直线的偏离ui表示对这种线性关系的随机扰动。即ui=Yi-Yi’（i=1,2,…,n）43.随机误差项的假定条件(1)E(ui)=0，i=1,2,…(2)Var(ui)=E[ui-E(ui)]2=E(ui2)=σu2,i=1,2,…(3)Cov(uiuj)=E[ui-E(ui)]E[μj-E(uj)]=E(uiuj)=0

3、，i≠j(4)Cov(ui,Xi)=E[ui-E(ui)]E[Xi-E(Xi)]=E(uiXi)=0，i=1,2,…(5)ui服从正态分布,即ui～N(0,σu2)前五条称为线性回归分析的经典假设条件，是古典线性回归模型的基本假定。5§2.2一元线性回归模型的参数估计1.普通最小二乘法（OLS）总体回归模型：总体回归方程：样本回归模型：样本回归方程：6下面用最小二乘法求总体回归系数β1、β2的估计值。即令根据微积分多元函数极值原理，要使上式达到最小，对的一阶偏导数都等于零，即7正规方程组8求解得到：92.几个常用的结果（1）（2）（3）（4）103.截距为

4、零的一元线性回归模型的参数估计一元线性回归模型的一般形式为当ui满足假定条件时，β的最小二乘估计量为11§2.3最小二乘估计量的统计性质1.线性性最小二乘估计量均是Yi的线性函数，即可以表示为Yi的线性组合。证明：其中12前面的式子可记为表明是Yi的线性组合，其中bi不全为零，线性性得证。的线性性可利用的线性性得到。可记为这表明同样是Yi的线性组合，其中Wi也不全为零，线性性也得到证明。132.无偏性无偏性指的数学期望分别等于总体回归系数的值β1和β2，即证明：即是参数真实值β2的无偏估计得到了证明。推导14同样地，证明的无偏性。即是β1的无偏估计。153

5、.最小方差性最小方差性，即在β1和β2所有可能的线性无偏估计中，最小二乘估计的方差最小。证明思路：假设是β1和β2的任意其他线性无偏估计，设法证明满足Var()≤Var()和Var()≤Var()。这两个不等式的证明相似，因此只证明其中第二个不等式。16因为是β2的线性无偏估计，因此根据线性性，可以写成下列形式：其中αi是线性组合的系数，为确定性的数值。则有由于是β2的无偏估计，因此不管Xi的取值如何，上式都必须等于β2。这就要求必须成立。17因此再计算方差Var()，得为了比较Var()和Var()的大小，可以对上述表达式做一些处理：18前面式子中的第三

6、项因此这样的最小方差性就得到了证明。19由于最小二乘估计量具有线性性、无偏性、最小方差性，因此被称为最佳线性无偏估计量（TheBestLinearUnbiasedEstimator），简称BLUE性质。20§2.4用样本可决系数检验回归方程的拟合优度本节要检验的是样本回归线对样本观测值的拟合优度。样本观测值距回归线越近，拟合优度越好，X对Y的解释能力越强。判断回归结果好坏的基本标准，是回归直线对样本数据的拟合程度，称为“拟合优度”。回归直线的拟合优度一方面取决于回归直线的选择，这是由参数估计方法决定的，另一方面取决于样本数据的分布。当参数估计方法固定时，主

7、要取决于样本数据的分布。样本数据的分布在本质上是由变量关系决定的。因此回归拟合度也是检验模型变量关系真实性，判断模型假设是否成立的重要方法。211.总离差平方和的分解YYiOXXi(Xi,Yi)22仅仅考察个别Yi由回归直线或解释变量决定的程度，或者对Yi逐点进行离差分解，仍然难以判断总体拟合情况。为此进一步考察所有Yi离差平方和的分解问题。所有Yi离差的平方和记为，称“总离差平方和”。分解可得23下证明最后一项等于零。即所以也可写为即总离差平方和可分解为两部分，一部分为：称为“回归平方和”,记为ESS；另一部分为：称为“残差平方和”，记为RSS。24因此

8、有TSS=ESS+RSS即总离差平方和=回归平方和+残差平方和前一