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1、10中等数学●命题与解题●从“五子棋”到“马步跳”丁龙云(南开大学数学科学学院,300071)在竞赛题中出现的棋盘,其背景大多是m同理,当n<5时,答案:n.国际象棋,偶尔也有以中国象棋为背景的.但5是,2007年全国高中数学联赛加试第二题的其次,假设m≥5,n≥5.背景却是五子棋.注意到,在棋盘的每一个5k×l的子棋题目在7×8的长方形棋盘的每个小盘上,每一列至少需要取出k枚棋子,否则,方格的中心点各放一枚棋子.如果两枚棋子会出现5枚棋子在该列依次相连,因而,至少所在的小方格共边或共顶点,那么,称这两枚要取出kl枚
2、.棋子“相连”.现从这56枚棋子中取出一些,同理,在每一个l×5k的子棋盘上也至使得棋盘上剩下的棋子没有5枚在一条直线少要取出lk枚.(横、竖、斜方向)上依次相连.问最少取出多设m、n除以5的余数分别是u、v.少枚棋子才可能满足要求?并说明理由.接下来对u、v分情形讨论.为简化讨本题的正确答案是取出11枚棋子.为说论,不妨设0≤u≤v<5.明理由,需要两步:(1)uv<5的情形.(1)证明:仅取出10枚棋子不满足要求;如图2,把棋盘划分成(m-u)×n、u×(2)构造出一种取出11枚棋子能满足要(n-v)和u×v三块
3、.在前两块中分别至少求的取法.m-un-v要取出n枚和u枚,总共是55构造的关键点是马步跳.在不区别相互(m-u)nu(n-v)mn-uvmn对称的取法的前提下,有以下两种不同取法+==5555(如图1).枚.本情形包含:u=0,1和u=v=2.3333333333333333333333图1将题目推广:题1把题目中的棋盘改成一般的m×图2图3n棋盘,问最少需要取出多少枚棋子才可能(2)(5-u)(5-v)<5的情形.满足要求?如图3,把棋盘划分成五块:n首先,当m<5时,正确答案:m.A:(m-5)×(n-v),B
4、:(m-u)×v,5C:u×5,D:5×(n-5),收稿日期:2007-11-23E:(5-u)×(5-v).2008年第2期11在A、B、C、D中分别至少取出(m-5)·考虑一个无限大的棋盘,每一个格子的n-vm-u中心点都放一枚、v、u、n-5枚,总共是3355棋子.用整数对3333(m-5)(n-v)(m-u)v++u+(n-5)(i,j)给每一个格3355333子标上坐标.把33=mn-(5-u)(5-v)=mn3355所有坐标满足33枚.本情形包含:5
5、(i-2j)的格子33v=4、5和u=v=3.图5(3
6、)除上两种情形,只剩下u=2,v=3.中的棋子都取出,易见,只须考虑m=7,n=8这一种情况见图5.即可.易见,在棋盘上剩下的棋子中,没有5枚如图4,把棋盘棋子在横、竖、斜方向的直线上依次相连.因划分成九块.此,在这个无限大棋盘上任意截取一块m×类似情形(1)中n的子棋盘都是满足要求的.从不同位置截的讨论可得,至少需取的子棋盘上,取走的棋子数至多相差1枚.要取出10枚棋子;从适当位置截取m×n的子棋盘,即可得到并且,假如只须取出枚数为mn的取法.510枚棋子就满足要图4还可以考虑另一个相关的问题:求,则这10枚棋子不
7、会分布在右下角的阴影题2假如只要求在横、竖方向的直线区域.上不出现5枚棋子依次相连,那么,在m×n同理,由对称性,也不会分布在其他角上(m≥5,n≥5)的棋盘上最少需要取出多少枚的阴影区域.棋子才可能满足要求?类似情形(2)中的讨论可得,在中心阴影回顾前面的情形(1)、(2),发现其讨论过区域也不能取出棋子.由于第1,2,6,7行和程对题2仍然有效.而对于情形(3),在7×8第1,2,7,8列的白色区域中至少各取出1枚的棋盘上,只能证明:至少需要取出10枚棋棋子,共8枚,于是,在①、②、③、④这四枚棋子.因此,在m×
8、n的棋盘上,最少需要取出子中至多取出2枚,这样,在斜的方向上必有的棋子枚数变成:5枚棋子依次相连,矛盾.mn如果m、n除以5的余数因此,对于m=7,n=8的棋盘,至少要-1,5分别是2,3或3,2;7×8取出11=枚棋子.mn5,其他.5该证明可以推广到一般的u=2,v=3下面构造一个满足以上要求的取法.这的情形.里采用“对角线”取法:把所有坐标满足综上所述,当m≥5,n≥5时,都至少要335
9、(i,j)的棋子都33取出mn枚棋子.取出来,见图6.33533在图6的棋盘333mn33最后,还要构造出恰好取出5枚棋上,
10、从适当位置截33取33m×n的子棋子能够满足要求的取法.具体构造的方法仍33是马步跳.盘,即可满足要求.图6
