导数公式大全.pdf

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1、导数的基本公式与运算法则基本初等函数的导数公式'c0(c为任意常数)(x)=x-1.(ax)=axlna.(ex)=ex.11(logx).(lnx).axxlna(sinx)=cosx.(cosx)=sinx.(tanx)=sec2x.(cotx)=-csc2x.(secx)=secxtanx.(cscx)=-cscxcotx.另外还有反三角函数的导数公式：1(arcsinx),21x1(arccosx),21x1(arctanx),21x1(arccotx).21x导数的四则运算定理2.1设函数u(x)、vx在

2、x处可导，v(x)则它们的和、差、积与商(u(x)0)u(x)在x处也可导，且(u(x)v(x))=u(x)v(x);(u(x)v(x))=u(x)v(x)+u(x)v(x);v(x)u(x)v(x)u(x)v(x).2u(x)[u(x)]推论1(cu(x))=cu(x)(c为常数).1u(x)推论2.2u(x)u(x)乘法法则的推广：(uvw)'uvwuvwuvw'''补充例题：求下列函数的导数：例1　设f(x)=3x4–ex+5cosx-1，求f(x)及f(0).解　根据推论1可得(3x4)=3(x

3、4)，(5cosx)=5(cosx)，又(x4)=4x3，(cosx)=-sinx，(ex)=ex，(1)=0，故f(x)=(3x4ex+5cosx1)=(3x4)(ex)+(5cosx)(1)=12x3ex5sinx.f(0)=(12x3ex5sinx)

4、x=0=1例2　设y=xlnx，求y.解　根据乘法公式，有y=(xlnx)=x(lnx)(x)lnx1x1lnxx1lnx.x1例3　设y2,求y.x1解　根据除法公式，有22x1(x1)(x1)(x1)(x1)y222

5、x1(x1)22(x1)[(x)(1)][(x)(1)](x1)22(x1)22(x1)2x(x1)2xx1.2222(x1)(x1)教材P32例2求下列函数的导数：32x(1)yxcosx(2)yxex32(3)y(4)y2x3sinxxe21x解：332(1)y'(xcos)'x()'(cos)'3xxxsinx2x2x2xx2xx(2)y'(xe)'(x)'exe()'2xexe(x2)xe222xx'(1x)x(1x)'1xx(2)x(3)y'()'222221x(1x

6、)(1x)21x22(1x)(4)y'(2)'(3sin)'()'x3xxe22(3)'3(sin)'0xxx26x3(sinxxcosx)高阶导数如果可以对函数f(x)的导函数f(x)再求导，所得到的一个新函数，称为函数y=f(x)的二阶导数，2dy记作　　　　　　　　　　　如对二阶导数再求导，则f(x)或y或2.dx3dy称三阶导数，记作f(x)或3　四阶或四阶以上导.dx4n数记为y(4)，y(5)，·(n)dydy··，y或,···，　　而把,4ndxdxf(x)称为f(x)的一阶导数.例3求下列函数的二阶导数(1)yxcosx(2)y

7、arctanx解：(1)y'cosxx(sin)xcosxxsinxy"sinx(sinxxcosx)2sinxxcosx12x(2)y'2221x(1x)2(1x)'y"22(1x)二阶以上的导数可利用后面的数学软件来计算2.2.4复合函数的求导法则定理2.2若函数uux()在点x可导，函数yfu＝()在点u处可导，则复合函数yfux(())dydydu在点x可导，且dxdudxdy或记作：fuux'()'()dx推论设y=f(u)，u=(v)，v=(x)均可导，则复合函数y=f[((x))]也可导，yyuv

8、.xuvx以上法则说明：复合函数对自变量的导数等于复合函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数.例4.求下列函数的导数：231）y(3x1);2)ysin(x2);tanx3)ylncos;x4)ye;x5)y232解：(1)函数可以分解为yuxux(),()3x1,32222y'[()]'3()uxuxux()'3(3x1)(3x1)'22223(3x1)6x18(3xx1)(2)把x2当