固有值和固有函数(精简).ppt

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1、12.6固有值与固有函数在本章的前三节我们应用分离变量法求解弦振动方程、一维热传导方程和二维拉普拉斯方程的有关定解问题时，都需要解决一个含参变量的也属于施图姆-刘维尔问题常微分方程的边值问题，这样的问题称为固有值问题。2施图姆-刘维尔方程的一般形式(95)其中1.2.或者而在区间端点处至多有一阶极点，且3.方程(95)加上边界条件就称为施图姆-刘维尔问题那些使施-刘问题存在非0解的值，称为该问题的固有值，而相应于给定的固有值的非0解，称为固有函数。例如:关于固有值和固有函数的几点结论：(1)存在无穷多个实的固有

2、值：当时，对应于这些固有值有无穷多个固有函数：(2)如果把对应于固有值的固有函数记为那么所有组成一个带权函数的正交函数系，即(96)4(3)类似于傅里叶级数，若函数在内有一阶连续导数及分段连续的二阶导数，并且满足所给的边界条件，则在内可以按固有函数展开为绝对且一致收敛的级数：其中系数满足(97)515.试证问题固有函数系在上带权函数正交。解作变换则有代入原方程有(1)首先求出固有函数系的具体表达式齐次欧拉方程练习6将代入即得固有函数系在上带权函数正交。齐次欧拉方程解则原问题的固有函数系为15.试证问题练习7固有

3、函数系在上带权函数正交。解(2)现在验证固有函数系的函数正交性齐次欧拉方程作变换15.试证问题练习8思考试证问题固有函数系在上带权函数正交。解作变换则有代入原方程有(1)首先求出固有函数系的具体表达式9思考试证问题固有函数系在上带权函数正交。将代入即得解则原问题的固有函数系为10思考试证问题固有函数系在上带权函数正交。解(2)现在验证固有函数系的函数正交性作变换练习14.(2)求下列问题的特征值与特征函数解(1)当时，方程通解为从而有由边界条件得即此时原问题没有非平凡解。解(2)当时，方程通解为从而有由边界条件

4、得即此时原问题有一个非平凡解，1212其中为任意常数。练习14.(2)求下列问题的特征值与特征函数解(3)当时，方程通解为由条件由条件若为求非0解，则于是得代入通解有练习14.(2)求下列问题的特征值与特征函数解(3)当时，方程通解为由条件由条件若为求非0解，则于是得代入通解有练习14.(2)求下列问题的特征值与特征函数解(3)当时，方程通解为由条件由条件若代入通解有练习14.(2)求下列问题的特征值与特征函数解将时对应的结果综合即得：和特征值对应的特征函数为：练习14.(2)求下列问题的特征值与特征函数