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1、16中等数学问题赏析从一个命题的证明谈起金磊(西安交通大学附属中学,710049)中图分类号:O123.1文献标识码:A文章编号:1005-6416(2010)03-0016-0320世纪初,在研究几何基础的过程中,点P在ABC外接圆上,而且还是弧BC为了显示直觉在几何证明中的不合理性,人的中点,同时,点P在两边上的垂足分别位[1]们引入了一个悖论:于三角形形内、形外,这样,虽然仍有BE=命题1任意三角形是等腰三角形.CF,AE=AF,却得不到AB=AC.命题1的证明在ABC中,作A的如果
2、在准确的图形中联结EF可以发平分线AP和BC的中垂线,则它们要么平现:E、F、D三点共线.如何证明三点共线呢?行,要么相交.若平行,则APBC,即AB=最基本也是最重要的方法就是证明其中两条AC;若相交,则设AP与BC的中垂线交于点线段的夹角互补.P.作PEAB于点E,PFAC于点F.以下证明!脱胎∀于上述悖论的证明.因为AP为角平分线,所以,PE=PF.如图1,联结ED、FD.由垂直关系有P、又PD为中垂线,则PB=PC.于是,B、E、D四点共圆.则1+4=180#.RtPBERtPCFBE=CF.同理
3、,由P、D、C、F和A、B、P、C分别四又AE=AF,则AE+BE=AF+CF,即点共圆得3=2=1.故AB=AC.3+4=180#.上述证明看似无懈可击,但结论却又荒从而,E、D、F三点共线.谬至极,构成了强烈的反差.细心的读者会发现,上述证明没有用到如果作出准确的(两边差距较大的)图PB=PC,也就是说,对于ABC外接圆O形(图1),就能一眼看出问题所在.上任意一点P,都有它在三边上的垂足共线.现在已经得到了一个优美的结论:三角形外接圆上任意一点在三边直线上的垂足共线.反过来此问题成立吗?也就是说:若平面
4、上某一点P在ABC三边上的垂足共线,此点是否必在其外接圆上呢?结论是肯定的.因为只要将上述证明反过来写一遍即可.由此得到:当且仅当点P位于ABC外接圆上时,P在三边上的射影共线.其实,这正是平面几何中的一个著名定图1理∃∃∃西姆松(Simson)定理.西姆松定理也可理解为平面上在三条不收稿日期:2009-07-022010年第3期17平行的直线上的射影共线的点的轨迹为三条直线交成三角形的外接圆.那么进一步,平面上的在四条直线上的射影共线的点存在吗?顺着西姆松定理的思路:设四条直线为l1、l2、l3、l4
5、,则在l1、l2、l3上射影共线的点在其交点的外接圆上,对l2、l3、l4亦然.故在l1、l2、l3、l4上射影共线的点必为两圆交点(如图2).图3如果作出四个圆的圆心,不难发现,四个圆心与M五点还是共圆.其实,完全四边形还有下面几个主要性质(如图4).图2很自然地得到:平面上在四条直线上的射影共线的点有且仅有一个.我们也在上面作出了此点对四条直线的西姆松线m.细心的读者会问:四条直线中任三条相交形成的三角形应该有四个,对应的外接圆应该也有四个.这四个圆是否都过点M呢?答案是肯定的,因为在图2中,由于P、Q、S
6、三点共线,则l1、l2、l4交成三角形的外接圆必过点M.图4同理,对l1、l3、l4亦然.(1)在完全四边形ABECFD中,AED、这样就很自然地证明了四圆共点的结ABF、BEC、DCF的四个垂心共线,称论.此结论也可以叙述为:为完全四边形的垂心线,而且此线还与西姆对四边形ABCD,设对边延长线交于点松线平行.E、F,则AED、ABF、BEC、DCF的四(2)完全四边形ABECFD的三条对角线个外接圆共点于M(如图3).AC、BD、EF的中点共线,称其为牛顿线,而且一般地,称四边形对边延长后交成
7、的图牛顿线与垂心线互相垂直.形为完全四边形ABECFD.有兴趣的读者可以参考文献[2]~[4].图3中的M称为完全四边形的密克点,另外,还可以考虑西姆松定理另一方面它是四个三角形外接圆的公共点,当然,它在的推广:西姆松定理中的点P与三角形三顶四条直线上的射影共线,称为完全四边形的点地位不等,如果把点P与A、B、C看成是地西姆松线.位均等的,那么,除了点P对ABC有西姆18中等数学松线,点A对PBC、点B对PAC、点C对圆).则此四圆有什么特殊的位置关系吗?PAB各有一条西姆松线,而且,作出准确图通过分析
8、Anning定理的证明过程可以立刻发现:此四线共点.发现,对于四条西姆松线的交点F,ABC、如图5,设某点A、B对其余三点的两条BCD、CDA、DAB的三高线的垂足圆都西姆松线交于点F,似乎ABD三边垂足与经过它.如果对三角形九点圆比较熟悉,则F四点共圆.Anning定理结论可以叙述为:圆内接四边形每点对其余三点的四条西姆松线和四个三角形的九点圆过同一点.那么,对于一般的四点
