应用数学基础习题解答4.pdf

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1、习题4解答1．用顺序Gauss消元法解下列线性方程组⎧24xxx++=,123⎪(1)⎨32xxx++=6,123⎪⎩xxx++=225;123解：将方程组进行顺序Gauss消元法，得同解三角方程组⎧24xxx++=,123⎪⎨+xx−=0,23⎪⎩x=1;3回代得：x=1，x=1，x=1．321⎡⎤12−334⎡⎤x⎡15⎤1⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−1831−−1x15(2)⎢⎥⎢⎥2=⎢⎥．⎢⎥1111⎢⎥x⎢6⎥3⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦3111−⎣⎦x⎣2⎦4解：对增广矩阵进行初等变换，得⎡⎤12−−33415⎡1233415⎤

2、⎢⎥⎢⎥−−1831−1−150−32725152⎢⎥→⎢⎥，⎢⎥11116⎢0011329611⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦31−112⎣00091330⎦得同解三角方程组⎧12xxxx−++=33415,⎪1234⎪⎪3715−++=xxx5,⎪234222⎨⎪11xx+=2911,34⎪36⎪91⎪x=0.4⎩33回代得：x=0，x=3，x=2，x=1．432112．试用列主元Gauss消元法解方程组系Ax=b,Ay=c,Az=d其中⎡⎤⎡401−0⎤⎡0⎤⎡7⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥Ab=−==212,1,c0,d=−1．⎢⎥⎢⎥⎢

3、⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎣⎦⎣0324⎥⎢⎦⎣−4⎥⎢⎦⎣4⎥⎦解：对增广进行初等变换⎡401007−⎤⎢⎥[]Abcd=212101−−⎢⎥⎢⎣032444−⎥⎦⎡40−1007⎤1⎢⎥rr+−()013−21092−212⎢⎥JJJJJJJJJJJM⎢⎣03244−4⎥⎦⎡40−1007⎤⎢⎥rr↔−032444JJJJJJJM32⎢⎥⎢⎣01321092−−⎥⎦⎡40−1007⎤1⎢⎥rr+−()03244−4323⎢⎥JJJJJJJJJJJM⎢⎣001361343356−−−⎥⎦得同解方程组⎧40xx−=,13⎪⎨324xx

4、+=,23⎪⎩−=136x−13;3⎧40yy−=,13⎪⎨324yy+=−,23⎪⎩−=136y43;3⎧47zz−=,13⎪⎨324zz+=,23⎪⎩−=136z−356;321162回代得：x=，x=，x=；1232613132128y=−，y=−，y=−；12313131363635z=，x=−，z=．1232613133．分别用顺序Gauss消元法和列主元Gauss消元法求矩阵−8⎡1023⎤⎢⎥A=−13.7124.623⎢⎥⎢−21.0725.643⎥⎣⎦的行列式detA的值．解：由顺序Gauss消元得−−

5、88⎡⎤1023⎡⎤1023⎢⎥99⎢⎥99A→×00.2100.310×→×00.2100.310×⎢⎥⎢⎥⎢⎥00.410××990.610⎢⎥000⎣⎦⎣⎦从而detA=0；用列主元Gauss消元法得⎡⎤−−21.0725.643⎡⎤21.0725.643⎢⎥⎢⎥A→→03.1761.801803.1761.8018⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦02.0003.000⎢⎥⎣⎦00.0001.8656则有detA=−11.85．4．设线性方程组Ax=b的系数矩阵A=[]a，a≠0，经过一步顺序Gauss消ij11元法得到(2)(2

6、)⎡aa"⎤T222n(2)⎡⎤a11a1⎢⎥A=⎢⎥，其中A=##2⎢⎥A⎣⎦02⎢aa(2)"(2)⎥⎣nn2n⎦试证(1)若A对称，则A也对称；2(2)若A严格对角占优，则A也严格对角占优．2证明：(1)由顺序Gauss消元公式及A对称得3aa(2)i1j1(2)aaaaaai=−=−=(,j=2,3,,)"nijij11jjiijiaa1111故A也对称；2n(2)由A严格对角占优，则∑aaiij<=ii,1,2,…,n，j=1ji≠而(2)ai1aaa=−，ijij1ja11故nnanna(2)i1i1∑∑aa

7、aaij=−≤+ij11j∑∑ijajjj==22aa11jj==2211ji≠≠jiji≠≠ji⎛⎞nnaanii11⎜⎟=−∑∑aaijij11+aa

8、A；1(2)cond(λλAA)=∀cond,∈^,λ≠0；(3)cond(ABAB)≤⋅condcond．−−11证明：(1)condAAAAAI=≥==1；−1−−11−−11condA==AAA()A=condA；−−11(2)cond()()αααA==AAAA=condA；−−11−1(3)cond(ABA