湖大+何选森+人民邮电+随机过程+课后答案.pdf

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1、[2-2]一个正弦振荡器，由于元器件的热噪声和电路分布参数变化的影响，其输出的正弦波可以看作一个随机过程Xt()=ΩAcos(t+ϕ)，其中A，Ω，ϕ是相互独立的随机变量，且⎧2a⎧1⎪2aA∈(0,0)⎪ω∈(250,350)faA()=⎨A0，fΩ()ω=⎨100⎪⎩0otherwise⎪⎩0otherwise⎧1⎪ϕ∈(0,2)πf()ϕ=⎨2πΦ⎪⎩0otherwise求随机过程X(t)的一维概率密度。[解]：设Y(t)=sin(ωt+ϕ)，其中ω是常数，由于对于任意时刻t，Y(t)不是ϕ的单调函数，则dϕ1ϕ

2、ω=−arcsinytJ==(

3、

4、1)y<1,2dy±−1y21⎧⎪1(1π−

5、

6、1fyJf()

7、

8、()

9、

10、()=+==ϕϕJf⎨Y12ΦΦ2π1−y⎪⎩0otherwise又设Z(t)=asin(ωt+ϕ)=aY(t)，其中a，ω是常数，则zdy1yJ===(

11、

12、z

13、

14、

15、

16、()

17、

18、()===⎨ZYYa⎪⎩0otherwise比较X(t)与Z(t)可知，Zt()==XtAa(

19、,Ω=ω)，即Z(t)是X(t)的条件形式，因此有fzf()=(

20、,)x

21、aωZX

22、,AΩ因此∞∞∞∞f()x==fxa(,,)ωωdadf(

23、,)()()xaωfafωωdadXX∫∫−∞−∞∫∫−∞−∞

24、,AΩΩAAA12a3501112A000222==dadωda=a−x∫∫∫xxπax22−−AA22250100ππax22A2x000⎧222⎪Ax−≤0xA≤200=⎨πA0⎪⎩0otherwise[2-3]用一枚硬币掷一次的试验定义一个随机过程：⎧cosπt出现正面Xt()=⎨⎩2t出现反面设“出现正面”和“出现反面”的概率均为1/2。1(1)确定X(t)的一维分布函数F(,)

25、,(,1)xFxXX21(2)确定X(t)的二维分布函数Fxx(,;,1)X122(3)画出上述分布函数的图形。[解]：求解该题需要先求出一维分布律和二维联合分布律，根据一维和二维分布律可以直接得出分布函数。(1)根据题意有P{}X1()2=0=,2/1P{X1()2=1}=2/12111因此有FX(x,)=∑piu(x−xi)=u(x)+u(x−)12i=122同样可得P{}X)1(=−1=,2/1P{X)1(=2}=2/111因此有F(x)1,=u(x+)1+u(x−)2X22⎧1⎫⎧1⎫(2)同样根据题意有P⎨X

26、()=,0X)1(=−1⎬=2/1，P⎨X()=,0X)1(=2⎬=0⎩2⎭⎩2⎭⎧1⎫⎧1⎫P⎨X()=,1X)1(=−1⎬=0，P⎨X()=,1X)1(=2⎬=2/1⎩2⎭⎩2⎭111因此有F(x,x;)1,=u(x,x+)1+u(x−,1x−)2X121212222(3)画出分布函数如下：1F(x,x,)1,x2X1212FX(x,)FX(x)1,)2,1(211112x12x)0,0(12x01−10121,1(−)1[2-4]设有随机过程Zt()=+−XcosωtYsinωt(∞

27、>0，X和Y是随机变量，且相互统计独立，它们的概率密度分别为：221x1yfx()=−exp{}(−∞

28、tX=+costYsinωt因此可得：XV==sin,ϕYVcosϕ这样可以先求V和Φ的联合概率密度：f(,)

29、

30、vJϕ=f(,)XY因为由题意知道X、Y是相互独立的随机变量，所以有VXΦYf(,)xy=fxfy()()XYXY∂∂xx∂∂vϕsinφϕvcos22而二元函数的雅可比为Jv===−+(sinϕϕcos)=−v∂∂yycosϕϕ−vsin∂∂vϕ即

31、J

32、=v，将以上各结果代入V和Φ的联合概率密度表示式，可得22vx+yfv(,)ϕ==vfxfy()()exp[−]VXΦY22π222222而根据XV==s

33、in,ϕYVcosϕ，则得x+yv=+(sinϕϕcos)=v于是有222vx+yvvfv(,)ϕ=−=−exp[]exp[]VΦ22ππ22根据边缘概率密度公式，同时考虑ϕ的取值范围为[-π,π]。于是可得∞πvvv2222−−fv()==fvd(,)ϕϕedveϕ=VV∫∫Φ−∞−π2π2222而根据xyvxyv+≥=+⇒≥0