电动力学答案(郭硕鸿+第三版) chapter6.pdf

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1、电动力学习题参考第六章狭义相对论1证明牛顿定律在伽利略交换下是协变的麦克斯韦方程在伽利略变换下不是协变的证明根据题意不妨取如下两个参考系并取分别固着于两参考系的直角坐标系且令t0时两坐标系对应轴重合计时开始后Σ′系沿Σ系的x轴以速度v作直线运动根据伽利略变换有z’vzvΣΣ′x′=x−vtvry′=yyvy’r′z′=zt′=toxx’o’1牛顿定律在伽利略变换下是协变的vd2xv以牛顿第二定律为例F=m2dtvd&xv&在Σ系下F=m2dtQx′=x−vt,y′=y,z′=z,t′=tvd2[x′+vt,y′,z′]d2xv′r∴F=m=m′=F′22dt′

2、dt′vd2xv′可见在Σ′系中牛顿定律有相同的形式F′==m′2dt′所以牛顿定律在伽利略变换下是协变的2麦克斯韦方程在伽利略变换下不是协变的vv∂B以真空中的麦氏方程∇×E=−为例设有一正电荷q位于O′点并随Σ′系运动∂tvqvv在Σ′中q是静止的故:E′=2er′,B′=04πεr′0rv∂B′于是方程∇′×E′=−成立∂t′vqv将E′=2er′写成直角分量形式;4πεr′0vqx′vy′vE′=[3ex′+3ey′+4πε222222220(x′+y′+z′)(x′+y′+z′)z′v+3ez′](x′2+y′2+z′2)2-1-电动力学习题参考第六章狭义相对论由

3、伽利略变换关系有在Σ中vqx−vtvyvE={e+e+3x3y4πε222222220[(x−vt)+y+z][(x−vt)+y+z)zv+e3z[(x−vt)2+y2+z2)2vq3v∴∇×E=−[(y−z)e+3x4πε22220[(x−vt)+y+z]vv+(z−x+vt)e+(x−vt−y)e]yzv可见∇×E不恒为零vvv又在Σ系中观察q以速度ve运动故产生电流J=qvexxµqv0于是有磁场B=R是场点到x轴的距离2πRv∂B此时有=0∂tvv∂B于是∇×E≠−∂t故麦克斯韦方程在伽利略变换下不是协变的2设有两根互相平行的尺在各自静止的参考系中的长度均为l它们以

4、相同的速率v相0对于某一参考系运动但运动方向相反且平行于尺子求站在一根尺子上测量另一根尺子的长度′解根据相对论速度交换公式可得Σ系2Z′′′z1vvz2v相对于Σ的速度大小是v1′′Σ1Σ2v2v′=2v1+2c′′o′′′′o1x12x2∴在Σ系中测量Σ系中静长为l的120OX尺子的长度为-2-电动力学习题参考第六章狭义相对论2v′2vl=l1−代入v′=022cv1+2c2v1−2′′c即得l=l此即是在Σ系中观测到的相对于Σ静止的尺子的长度0212v1+2c3静止长度为l的车厢以速度v相对于地面s运行车厢的后壁以速度u向前推出一00个小球求地面观测者看到小球从后壁到前

5、壁的时间解根据题意取地面为参考系S车厢为参考系S′于是相对于地面参考系S2vu0+v车长l=l1−车速v球速u=02uvc01+2c故在地面参考系S中观察小球在此后由车后壁到车前壁2vuvl1−0l02l0(1+2)cc∆t===u−vu0+vv2−vu1−uv021+0c2c4.一辆以速度v运动的列车上的观察者在经过某一高大建筑物时看见其避雷针上跳起一脉冲电火花电光迅速传播先后照亮了铁路沿线上的两铁塔求列车上观察者看到的两铁塔被电光照亮的时间差设建筑物及两铁塔都在一直线上与列车前进方向一致铁塔到建筑物的地面距离已知都是l0解由题意得右示意图取地面为静止的参考系Σ列车为运动

6、的参考系Σ′取x轴与x′轴平行同向与列车车速方向一致令t=0时刻为列车经过建筑物时并令此处为Σ系与Σ′的原点如图l0在Σ系中光经过t=的时间后同时照亮左右两塔Z(z’)c左cc右但在Σ′系中观察两塔的位置为l0vx′=lv−βvl=(1−)右00v2c1−2cx=−lox=l00xvΣ′o’x’-3-电动力学习题参考第六章狭义相对论l0vx′=−lv−βvl=−(1+)左00v2c1−2cl0v∴d′=x′−o′=(1−)右右v2c1−2cl0vd′=x′o′=(1+)左左v2c1−2c时间差为d左′d右′l01vv2vl0∆t=−=(1+)−(1−)=ccv2c

7、ccv221−c1−22cc5.有一光源S与接收器R相对静止距离为lSR装置浸在均匀无限的液体介质静止折射率n中试对下列三种情况计算光源发出讯号到接收器收到讯号所经历的时间1液体介质相对于SR装置静止2液体沿着SR连线方向以速度v运动3液体垂直于SR连线方向以速度v运动解1液体介质相对于SR装置静止时nl0∆t=1c2液体沿着SR连线方向以速度v运动取固着于介质的参考系Σ′Σ′系沿x轴以速度v运动在Σ′系中测得光速在c各个方向上均是n由速度变换关系得在Σ系中沿介质运动方向的光速c+vnv′=v1+cnv(1+)l