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1、2005年全国硕士研究生入学统一考试理工数学一试题详解及评析一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）2x（1）曲线y=的斜渐近线方程为_____________.2x+11（2）微分方程yx′+2y=xlnx满足y)1(=−的解为.____________.9222xyzρ1（3）设函数u(x,y,z)=1+++，单位向量n=}1,1,1{，则612183∂u=.________.∂n)3,2,1(22222（4）设Ω是由锥面z=x+y与半球面z=R−x−y围成的空间区域，Σ是Ω的整个边界的外侧，则∫∫xdydz+ydzdx
2、+zdxdy=____________.Σ（5）设α,α,α均为3维列向量，记矩阵123QQ：81321659A=(α,α,α)，B=(α+α+α,α+2α+4α,α+3α+9α)，123123123123如果A=1，那么B=..（6）从数1,2,3,4中任取一个数，记为X,再从,2,1Λ,X中任取一个数，记为Y,则P{Y=}2=____________.二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）3n（7）设函数f(x)=limn1+x，则f(x)在(−∞,+∞)内n→
3、∞(A)处处可导.(B)恰有一个不可导点.(C)恰有两个不可导点.(D)至少有三个不可导点.[]（8）设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，"M⇔N"表示“M的充分必要条件是N”，梦飞翔考研工作室则必有(A)F(x)是偶函数⇔f(x)是奇函数.（B）F(x)是奇函数⇔f(x)是偶函数.(C)F(x)是周期函数⇔f(x)是周期函数.(D)F(x)是单调函数⇔f(x)是单调函数.[]x+y（9）设函数u(x,y)=ϕ(x+y)+ϕ(x−y)+∫ψ(t)dt,其中函数ϕ具有二阶导数，x−yψ具有一阶导数，则必有2222∂u∂u∂u∂u(A)=−.（B）=.2
4、222∂x∂y∂x∂y2222∂u∂u∂u∂u(C)=.(D)=.[]22∂x∂y∂y∂x∂y∂xxz（10）设有三元方程xy−zlny+e=1，根据隐函数存在定理，存在点(0,1,1)的一个邻域，在此邻域内该方程(A)只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z=z(x,y).(B)可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和z=z(x,y).(C)可确定两个具有连续偏导数的隐函数y=y(x,z)和z=z(x,y).(D)可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和y=y(x,z).[]（11）设λ,λ是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为
5、α,α，则α，12121A(α+α)线性无关的充分必要条件是12(A)λ≠0.(B)λ≠0.(C)λ=0.(D)λ=0.[]1212QQ：81321659**（12）设A为n（n≥2）阶可逆矩阵，交换A的第1行与第2行得矩阵B,A,B分别为A,B的伴随矩阵，则****(A)交换A的第1列与第2列得B.(B)交换A的第1行与第2行得B.****(C)交换A的第1列与第2列得−B.(D)交换A的第1行与第2行得−B.[]（13）设二维随机变量(X,Y)的概率分布为XY0100.4a1b0.1已知随机事件{X=}0与{X+Y=}1相互独立，则(A)a=0.2,b
6、=0.3(B)a=0.4,b=0.1(C)a=0.3,b=0.2(D)a=0.1,b=0.4[]2（14）设X,X,Λ,X(n≥)2为来自总体N(0,1)的简单随机样本，X为样本均值，S梦飞翔考研工作室12n为样本方差，则22(A)nX~N)1,0((B)nS~χ(n).2(n−)1X(n−)1X1(C)~t(n−)1(D)~F,1(n−1).[]nS2∑Xii=2三、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（15）（本题满分11分）222222设D={(x,y)x+y≤,2x≥,0y≥}0，1[+x+y]表示不超过1+
7、x+y的最22大整数.计算二重积分∫∫xy1[+x+y]dxdy.D（16）（本题满分12分）∞n−112n求幂级数∑(−)11(+)x的收敛区间与和函数f(x).n=1n2(n−)1（17）（本题满分11分）如图，曲线C的方程为y=f(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线l与l分别是曲线C在12点(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4).设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分32∫(x+x)f′′′(x)dx.0（18）（本题满分12分）已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1.证明：（I）存在
8、ξ∈1,0(),使得f(ξ)=1−ξ；QQ：81321659（II
