矩阵LU分解求逆详细分析与C语言实现.doc

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1、题目要求给定一个多维矩阵，实现该矩阵的求逆运算。1、理论分析矩阵的一种有效而广泛应用的分解方法是矩阵的LU三角分解，将一个n阶矩阵A分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积。所以首先对矩阵进行三角分解，这里采用Doolittle分解，即分解为一个下三角矩阵（对角元素为1），和一个上三角矩阵的乘积。再进行相应的处理。所以，矩阵求逆的算法流程可表述如下：图1矩阵求逆流程图1)进行LU分解；2)对分解后的L阵（下三角矩阵）和U阵（上三角矩阵）进行求逆;；3)L阵的逆矩阵和U阵的逆矩阵相乘，即可求得原来矩

2、阵的逆。即：（1）1.1矩阵的LU分解若n阶方阵的各阶顺序主子式不等于零，即：（2）则A的LU分解存在且唯一。（3）由矩阵的乘法原理,可推导出LU分解的迭代算法（4）（5）（6）（7）矩阵的LU分解是一个循环迭代的过程,U矩阵是从第1行迭代到第n行,而L矩阵则是从第1列迭代到第n列,且U矩阵先于L矩阵一个节拍。1.2L矩阵和U矩阵求逆首先假设下三角矩阵L的逆矩阵为，不失一般性，考虑4阶的情况，利用，有：（1），，；（2）（3）（4）。从而求得下三角矩阵L的逆矩阵R式如下：，（8）上三角矩阵U的逆矩阵可以

3、由下式得到：。，（9）矩阵求逆是一个迭代的过程，依次循环,迭代次,求出整个逆矩阵。其中U矩阵的循环迭代时按行顺序，列倒序进行，L矩阵的循环迭代按列顺序，行顺序进行，直到计算出整个矩阵的所有结果为止。1.3矩阵相乘上三角矩阵U的逆矩阵u与下三角矩阵L的逆矩阵相乘,最终得到原始矩阵A的逆矩阵,完成整个矩阵求逆的过程。对于n阶矩阵相乘的迭代形式可表示如下：（10）1.4实例分析例：给定一4阶矩阵，通过LU分解求逆矩阵。解：算法过程为：，第一步：求LU矩阵设，通过（4）~（7）式可逐步进行矩阵L和U中元素的计算

4、，如下所示：经迭代计算，最后得到L和U矩阵为：第二步：求L和U矩阵的逆,（1）求U矩阵的逆由式（9）可得矩阵U的逆的各元素计算如下：（2）求L矩阵的逆由（8）式可得L矩阵的逆的各元素计算如下所以得到L和U的逆矩阵为：（3）求A的逆矩阵由式（10）可计算得到矩阵A的逆，如下：由程序计算出的结果如下：2、C语言程序设计及测试2.1算法c程序实现#include#include#defineN4voidmain(){floata[N][N];floatL[N][N],U[

5、N][N],out[N][N],out1[N][N];floatr[N][N],u[N][N];memset(a,0,sizeof(a));memset(L,0,sizeof(L));memset(U,0,sizeof(U));memset(r,0,sizeof(r));memset(u,0,sizeof(u));intn=N;intk,i,j;intflag=1;floats,t;////////////////////inputamatrix////printf("inputA=");for(i

6、=0;i

7、n;i++)a[i][0]=a[i][0]/a[0][0];//计算L矩阵的第1列for(k=1;k

8、}for(i=0;ij){L[i][j]=a[i][j];U[i][j]=0;}//如果i>j，说明行大于列，计算矩阵的下三角部分，得出L的值，U的//为0else{U[i][j]=a[i][j];if(i==j)L[i][j]=1;//否则如果i