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《选修4-5 证明不等式的基本方法-综合法与分析法.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、31八月2021不等式的证明第二讲证明不等式的基本方法综合法与分析法二、综合法与分析法例1.已知a,b,c>0,且不全相等，求证：a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc分析：观察待证不等式的特点与重要不等式：a2+b2≥2ab有关所以证明可以从这个重要不等式出发，再结合不等式的性质推出.这就是综合法综合法：一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫综合法.综合法又叫顺推法或由因导果法综合法的“入手处”是一些重要的不等式：例2.已知a1,a2,...,an∈R+,且a1a2..
2、.an＝1，求证(1+a1)(1+a2)…(1+an)≥2n分析：观察要证明的结论，可以联想到是由n个同向不等式相乘得到.由基本不等式得：再由条件：a1a2...an＝1可得结论例2.已知a1,a2,...,an∈R+,且a1a2...an＝1，求证(1+a1)(1+a2)…(1+an)≥2n变式练习：点评：瞄准目标进行拆分与组合分析：观察不等式的特点——联想n维均值不等式关键：将右边的1移至左边并进行“均分”再用均值不等式即可达到目标课堂练习:1.已知a,b,c不全相等，且a+b+c=3,求证：a2+b2+c2>3证：由已知得(a+b+c)2=9即:a2+b2
3、+c2+2(ab+bc+ca)=9①∵a2+b2≥2ab,由①和②得9<3(a2+b2+c2),即a2+b2+c2>3．又a,b,c不全相等,∴2a2+2b2+2c2>2ab+2bc+2ca②b2+c2≥2bc,a2+c2≥2ca以上三式相加得2a2+2b2+2c2≥2ab+2bc+2ca小结：作业:P25－1,2,7,8课堂练习综合法是证明不等式的基本方法，用综合法证明不等式的逻辑关系是：(A为证明过的不等式,B为要证的不等式）即综合法是：由因导果分析法证明命题时，我们还常常从要证的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事
4、实（定义、公理或已证明的定理、性质等），从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法.这是一种执果索因的思考和证明方法因为14<18成立，例2.已知a>0,b>0,2c>a+b.求证：分析：原不等式等价于又a>0所以，只需证：a<2c-b即：a+b<2c由题设知a+b<2c成立,∴原不等式得证.课堂练习2.证明:当周长相等时,圆的面积比正方形的面积大.这就证明了，如果周长相等，那么圆的面积比正方形的面积大．课堂练习课堂练习课堂练习作业：P26－3,4,5,6,9分析法的思路是“执果索因”，未知⇒已知即从求证的不等式出发，不断地用充分条件来代替前面的不等式，直至
5、找到已知的不等式为止。小结:(1)法常用于比较法，综合法难于入手的题型．(2)分析法的优点是利于思考，因为它方向明确思路自然，易于掌握，而综合法的优点是易于表述，条理清楚,形式简洁，因而证不等式时常常用分析法寻找解题思路，再用综合法写出证明过程．解:设f(x)=(1+x)n－(1+nx)，则f´(x)=n(1+x)n-1－n＝n［(1+x)n-1－1］.由f´(x)=0得x=0,于是当x∈(-1，0)时,f´(x)<0，f(x在(-1,0)上递减.当x∈(0,+∞)时,f´(x)>0，f(x)在(0,+∞)上递增.∴当x=0时，f(x)最小，最小值为0，即f(x
6、)≥0．∴(1+x)n≥1+nx.例4.已知x＞-1，n≥2且n∈N*，比较(1+x)n与1+nx的 大小.例4.已知x＞-1，n≥2且n∈N*，比较(1+x)n与1+nx的 大小.解:设t=1+x,则t>0,(1+x)n-(1+nx)=tn－nt＋n－1(﹡)再设f(t)=tn-nt+n-1,则f´(t)=ntn-1－n＝n(tn-1－1］.当t∈(0，1)时,f´(t)<0，f(t)在(0,1)上递减.当t∈(1,+∞)时,f´(t)>0，f(t)在(1,+∞)上递增.∴当t=0时，f(t)最小，最小值为0，即f(t)≥0．∴tn－nt＋n－1≥0,由(﹡)
7、式即得(1+x)n≥1+nx.
