运筹学对偶单纯形法.ppt

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1、§6对偶单纯形法在原来的单纯形表中进行迭代时，前提要求右端项b≥0(基可行解)，迭代过程中在b列中得到的是原问题的基可行解，在检验数行得到的是对偶问题的基解。当检验数行也是对偶问题的基可行解时，原问题与对偶问题都得到最优解。对偶单纯形法原理：根据对偶问题的对称性，保持对偶问题的解是基可行解，即cj-CBB-1Pj≤0，同时取消对解答列元素非负的限制，在原问题非可行解的基础上,通过逐步迭代达到基可行解，这样就得到了最优解。其优点是原问题的初始解不一定要求是基可行解，可从非可行解开始迭代。简言之，不必引进人工变量寻找基底。方法：设原问题maxz=CXAX=bX≥0设B是一个

2、基，令B=(P1,P2,…,Pm)，它对应的变量为XB=(x1,x2,…,xm)当非基变量都为零时，可以得到XB=B-1b。若在B-1b中至少有一个负分量，设(B-1b)i<0,并且在单纯形表的检验数行中的检验数都为非正，即对偶问题保持可行解，它的各分量是1、对应基变量x1，x2，…，xm的检验数是σi=ci–zi=ci-CBB-1Pi=0，i=1,2,…,m2、对应非基变量xm+1，…，xn的检验数是σj=cj–zj=cj-CBB-1Pj0，j=m+1,…,n每次迭代时，将基变量中的负分量xl取出（换出变量）,去替换非基变量中的xk，要求在所有检验数仍保持非正（对偶

3、问题可行性）的前提下，进行基变换。从原问题来看，经过每次迭代,原问题由非可行解往可行解更靠近，当原问题得到可行解时，便得到了最优解（原问题、对偶问题）。注意：1.对偶单纯形法不是解对偶问题的单纯形法，而是应用对偶原理求解原问题最优解的一种方法。当然，当求解得到原问题的最优解的同时，也就得到对偶问题的最优解。2.在具体计算中，不另外构造单纯形表格，而是在原始问题的单纯形表格基础上进行对偶处理。对偶单纯形法的计算步骤:(1)根据线性规划问题，列出初始单纯形表，检查b列的数值，若都为非负，并且检验数都为非正，则已得到最优解。停止计算；若b列的数值至少还有一个负分量，检验数保持

4、非正，那么进行计算。(3)确定换入变量：检查xl所在行的各系数alj(j=1,2,…,n)。若所有的alj0,则无可行解，停止计算。(2)先确定换出变量：若min{(B-1b)i

5、(B-1b)i<0}=(B-1b)l对应的基变量xl为换出变量。（实际上，可取任何一个取负值的基变量作为换出变量。取最小的含义是尽快）若存在alj<0,(j=1,2,…,n)，计算按θ规则所对应的非基变量xk为换入变量(保持对偶问题解的可行性)。(4)以alk为主元素，进行迭代，即进行矩阵行变换。得新的单纯形表。重复（1）-（4）步，直到求出最优解为止。为什么要用下式来确定换入变量呢？原因如

6、下：第l行变成：行变换将Pk变成单位向量，因为bl<0，一定要求bl/alk0,要选主元素alk<0。检验数变成（行变换）要保证可行性，就要有jnew0，j=1,…,n),,1,,,0,,0,1,...0,,0,(ln1lklklmlklklaaaaaabLLLL+),,0,,,0,,0,,0,,0(ln11klknklklmmlkkaaaaasssss---++LLLL令T={j

7、alj<0}当jT时，alj0，从而jnew=j-alj/alkk<0，满足可行性。当jT时，jnew=j-alj/alkk=alj[j/alj-k/alk]由于

8、j，k，alk，alj均小于0，从而上述括号内的比值均大于0。又由于alj<0，为保证jnew0，（jT）故只要选取就能有方括号内大于等于0，从而jnew0。解:先将这问题转化（此时b可以是负的）,以便得到对偶问题的初始可行基maxz=-2x1-3x2-4x3-x1-2x2-x3+x4=-3-2x1+x2-3x3+x5=-4xj≥0,j=1,2,3,4,5建立这个问题的初始单纯形表例：用对偶单纯形法求解：minω=2x1+3x2+4x3x1+2x2+x3≥32x1-x2+3x3≥4x1,x2,x3≥0则X*=（11/5，2/5，0，0，0）T为原问题的最优

9、解。同时Y*=（y1*，y2*）=（8/5，1/5）对偶单纯形法特点:(1)简化计算：不引入人工变量将线性规划化成标准型,构造初始单纯形表(初始解是非可行解),只要检验数非负(最优检验数),就可以进行基的转换；(2)适于变量多于约束条件：当变量少于约束方程的个数时，可考虑变成对偶问题后，再用对偶单纯形法；(3)局限性：多数问题很难找到检验数为负(最优检验数)的初始可行解。但可用于灵敏度分析中简化计算。?