高中数学《函数的单调性》课件1 北师大版必修1.ppt

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1、§3函数的单调性1.初中学习过一次函数、二次函数.还记得函数f(x)＝x的图象特征吗？自左向右，图象是，即函数值随着x的增大而.函数f(x)＝x2的图象是，而且其图象在区间(－∞，0］内是，即函数值随x的增大而；在区间(0，＋∞)内图象是，即函数值随x的增大而.2.从函数f(x)＝x2的图象上还可看出当x＝0时，y＝0是所有函数值中.而对于f(x)＝－x2来说，x＝0时，y＝0是所有函数值中.【答案】1.上升的　增大　抛物线　下降的　减小　上升的　增大2.最小的　最大的1.增函数与减函数的定义在函数y＝f(x)的定义域内的一个区间A上.(1)如果对于两数

2、x1，x2∈A，当x1＜x2时，都有，那么，就称函数y＝f(x)在区间A上是增加的，有时也称函数y＝f(x)在区间A上是的.(2)如果对于任意两数x1，x2∈A，当x1＜x2时都有，那么，就称函数y＝f(x)在区间A上是减少的，有时也称函数y＝f(x)在区间A上是的.任意f(x1)＜f(x2)递增f(x1)＞f(x2)递减2.单调区间、单调性及单调函数(1)单调区间：如果y＝f(x)在区间A上是或是，那么称为单调区间.在单调区间上，如果函数是增加的，那么它的图象是；如果函数是减少的，那么它的图象是.(2)单调性：如果函数y＝f(x)在定义域的某个子集上是或

3、是，那么就称函数y＝f(x)在这个上具有单调性.(3)单调函数：如果函数y＝f(x)在内是增加的或是减少的，那么分别称这个函数为或，统称为单调函数.增加的减少的A上升的下降的增加的减少的子集整个定义域增函数减函数能否将增函数(减函数)定义中的“任意两个值x1，x2”，改为“存在两个值x1，x2”？虽然f(-1)＜f(2)，但f(x)在［-1,2］上并不递增.【提示】不能.如图所示，函数单调性的判定或证明【思路点拨】解答本题只需按照函数单调递增的定义加以证明.根据定义证明函数的单调性可按如下步骤进行：(1)取值.即设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1<

4、x2；(2)作差变形.即作差f(x1)－f(x2)，并通过因式分解、配方、有理化等方法，使其转化为易于判断正负的式子；(3)定号.即确定f(x1)－f(x2)的符号；(4)判断.即根据定义得出结论.其中第二步是关键，在变形中一般尽量化为几个最简因式的积或几个完全平方的形式.1.证明函数在区间(－∞，0)上是增函数.【证明】设x1，x2为区间(－∞，0)上的任意两个值，且x10，∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)

5、在半开半闭区间［－5,5)上的函数y＝f(x)的图象，根据图象写出y＝f(x)的单调区间，并指出在每一个单调区间上y＝f(x)是增函数还是减函数.【思路点拨】观察图象可知，函数y＝f(x)在区间［－5,5)上不具有单调性，但在区间［－5，－2］，［－2,1］，［1,3］，［3,5)上具有单调性.【解析】函数y＝f(x)的单调区间有［－5，－2］，［－2,1］，［1,3］，［3,5)，其中y＝f(x)在区间［－5，－2］，［1,3］上是减函数，在区间［－2,1］，［3,5)上是增函数.(1)利用图象研究函数的单调性是常用的解题方法.但要注意函数的定义域.(2

6、)写单调区间时，不连续的单调区间必须分开写，不能用“∪”符号连接它们.如函数y＝，其定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，不能笼统地说，函数在(－∞，0)∪(0，＋∞)上单调递减，而只能说函数在(－∞，0)和(0，＋∞)上递减.因为若在(－∞，0)∪(0，＋∞)[JP4]上递减，对－1<1，则有f(－1)>f(1)，而事实上f(－1)

7、x

8、.函数单调性的应用已知函数，x∈［2,5］.(1)判断该函数在区间［

9、2,5］上的单调性，并给予证明；(2)求该函数在区间［2,5］上的最大值与最小值.【思路点拨】解答本题可先利用定义证明f(x)的单调性，在此基础上利用单调性解答最值.(1)运用函数单调性求最值是求解函数最值问题的重要方法，特别是当函数图象不好作或作不出来时，单调性几乎成为首选方法.(2)函数的最值与单调性的关系①若函数在闭区间［a，b］上是减函数，则f(x)在［a，b］上的最大值为f(a)，最小值为f(b).②若函数在闭区间［a，b］上是增函数，则f(x)在［a，b］上的最大值为f(b)，最小值为f(a).1.解读函数单调性的定义(1)定义中的关键词：①“

10、定义域I内某个区间D”，即函数的单调区间是其定义域的子集.单调性是