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《高中数学 3.1.1《导数及其应用》课件 新人教版A选修1-1.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第三章导数及其应用微积分主要与四类问题的处理相关:一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;二、求曲线的切线;三、求已知函数的最大值与最小值;四、求长度、面积、体积和重心等。导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。3.1.1变化率问题问题1气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?我们来分析一下:气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:
2、dm)之间的函数关系是如果将半径r表示为体积V的函数,那么当V从0增加到1时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为当V从1增加到2时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为显然0.62>0.16思考?当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?问题2高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?请计算请计算平均速度不能反映他在这段时间里运动状态， 需要用瞬时速度
3、描述运动状态。平均变化率定义:若设Δx=x2-x1,Δf=f(x2)-f(x1)则平均变化率为这里Δx看作是对于x1的一个“增量”可用x1+Δx代替x2同样Δf=Δy==f(x2)-f(x1)上述问题中的变化率可用式子表示称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率思考?观察函数f(x)的图象平均变化率表示什么?OABxyY=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1f(x2)-f(x1)直线AB的斜率做两个题吧!1、已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-2)及临近一点B(-1+Δx,-2+Δy)
4、,则Δy/Δx=()A3B3Δx-(Δx)2C3-(Δx)2D3-ΔxD2、求y=x2在x=x0附近的平均速度。2x0+Δx小结：1.函数的平均变化率2.求函数的平均变化率的步骤:(1)求函数的增量Δf=Δy=f(x2)-f(x1);(2)计算平均变化率练习：过曲线y=f(x)=x3上两点P（1，1）和Q(1+Δx,1+Δy)作曲线的割线，求出当Δx=0.1时割线的斜率.K=3Δx+(Δx)2=3+3×0.1+(0.1)2=3.31作业：第二教材P67A1、2、4，B53.1.2导数的概念在高台跳水运动中,平均速
5、度不能反映他在这段时间里运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态。我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.又如何求瞬时速度呢?如何求（比如，t=2时的）瞬时速度？ 通过列表看出平均速度的变化趋势：当Δt趋近于0时,平均速度有什么变化趋势?瞬时速度?我们用表示“当t=2,Δt趋近于0时,平均速度趋于确定值-13.1”.那么,运动员在某一时刻t0的瞬时速度?导数的定义:从函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是:应用：例1物体作自由落体运动,运动方程为：其中位移单位是m,时间单位是s,g=10m/s2.求：(1)物体在
6、时间区间[2,2.1]上的平均速度；(2)物体在时间区间[2,2.01]上的平均速度；(3)物体在t=2(s)时的瞬时速度.解:(1)将Δt=0.1代入上式，得:(2)将Δt=0.01代入上式，得:即物体在时刻t0=2(s)的瞬时速度等于20(m/s).当时间间隔Δt逐渐变小时,平均速度就越接近t0=2(s)时的瞬时速度v=20(m/s).应用：例2将原油精练为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原由进行冷却和加热。如果第x(h)时，原由的温度（单位：0C）为f(x)=x2-7x+15(0≤x≤8).计算第2（
7、h)和第6（h）时，原由温度的瞬时变化率，并说明它们的意义。关键是求出：它说明在第2（h)附近，原油温度大约以30C/H的速度下降；在第6（h)附近，原油温度大约以50C/H的速度上升。应用：例3．质量为１０kg的物体，按照s(t)=3t2+t+4的规律做直线运动，（１）求运动开始后４s时物体的瞬时速度；（２）求运动开始后４s时物体的动能。练习:求函数y=3x2在x=1处的导数.分析：先求Δf=Δy=f(１＋Δx)-f(１)=6Δx+(Δx)2再求再求小结：1求物体运动的瞬时速度：（1）求位移增量Δs=s(t+Δ
8、t)-s(t)(2)求平均速度（3）求极限1由导数的定义可得求导数的一般步骤：（1）求函数的增量Δy=f(x0+Δt)-f(x0)(2)求平均变化率（3）求极限作业：课本86页A1，2，3。
