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1、则上图的脉冲传递函数为:需指出的是例1:求下图所示开环系统的脉冲传递函数解:例2:求下图所示开环系统的脉冲传递函数解:例3:求下图所示有零阶保持器的开环系统脉冲传递函数解:令则:由Z变换的滞后定理可得:B.闭环系统的脉冲传递函数由于采样开关在闭环系统中可以有多种配置可能性,因此闭环系统的结构图较连续系统的结构图来的复杂.下图是一种常见的离散闭环系统的结构图形式:由上图经推导可得:叫闭环系统的误差脉冲传递函数.实际系统的输出一般是连续信号,故如上图所示,在输出端虚设一采样开关,才可得到闭环系统输出对输入的脉冲传递函数.因为,所以上式中叫闭环系统的特征多项式,叫闭环系统的开环Z传递函数.在有
2、些情况下,无法得到闭环系统的Z传递函数,而只能得到闭环系统输出的Z变换表达式,见下图:例:求下图所示系统的Z传递函数,采样周期T=0.07s.解:6.4.3离散系统数学模型的模式之二___离散动态方程离散控制系统的被控对象一般都是连续的,当用连续动态方程描述被控对象时,就需将连续动态方程离散化.现假设被控对象连续动态方程的一般形式为:设初始时刻为,初始状态为,状态方程的解为:令,代入上式得:假设采用零阶保持器,则当时有,上式为:令:对上式进行变量代换,令,则,当时,,当时,,将上述变量关系代入上式得:从而得到离散化后的动态方程为:上式中.动态方程的结构图见P.351图6.4.2例:设连续
3、动态方程为:试求其离散化动态方程,设采样周期T=1s解:可求得状态转移矩阵为:令t=T,则:而:当T=1时,可得:系统离散化状态方程为:课外习题:P.414第6.9题(2)(3),第6.10题(a)(b)(c)(d),第6.11题第6.13题(1)(2)下面讨论离散动态方程的求解方法.设离散动态方程为:1.递推法.令:将上面方程从上往下逐个依次迭代,得:递推法给出的状态方程的解不是闭合形式,但便于用计算机求解.由输出方程可方便地求出输出.2.Z变换法对状态方程两边进行Z变换得:Z变换法给出的状态方程的解是闭合形式的.由输出方程可方便地求出输出.令:称为离散系统的状态转移矩阵.例:采样周期
4、T=1s的离散系统的齐次状态方程为:求其解.解:6.6离散控制系统的性能分析6.6.1离散控制系统的稳定性1.稳定条件在线性连续系统理论中已知,其稳定的充要条件是系统的所有极点均在S平面的左半平面上.S平面的虚轴是稳定区域的边界.在线性离散系统中,如用拉氏变换,则变换式中含有项,从而系统的特征方程为超越方程,其极点不好求.但经过Z变换后,离散系统的特征方程D(z)为Z平面上的代数方程但在Z平面上,离散系统的稳定条件又如何表述?设离散系统的特征方程为D(z),令D(z)=0,设其极点为,则系统稳定的充要条件是,在Z平面上,均在以原点为圆心,半徑为1的单位圆内,即当,即只要有一个极点在单位圆
5、周上,则系统是临界稳定的.当,即只要有一个极点在单位圆外,则系统是不稳定的.上述结论的正确性可说明如下:设在S平面上,有经Z变换后,它在Z平面上的映像为:由上式可得:当时,s在S平面的左半平面上,而z在Z平面上的单位圆内.当时,s在S平面的虚轴上,而z在Z平面上的单位圆周上.当时,s在S平面的右半平面上,而,z在Z平面上的单位圆外.2.劳斯稳定判据在离散控制系统中的应用劳斯稳定判据只能根据代数方程的系数,判别代数方程的根在根平面的左半平面上还是在根平面的右半平面上,而无法判别代数方程的根的模是大于1还是小于1,或是等于1.为此需把Z平面再进行一次变换,令:,或令:将上述变换叫作双线性变换
6、,也叫Z--W变换,即把Z平面变换到W平面.Z和W均为复变量,可表为:即:将式(2)代入式(1),有:由上式可见,W平面上的虚轴对应于上式中的而在Z平面上正好是单位圆的圆周.由于,所以当时,即u<0,w在W平面的左半平面上,而,在Z平面上即为单位圆的内部.当时,即u>0,w在W平面的右半平面上,而在Z平面上即为单位圆的外部.有上述Z—W变换,可将Z平面上的特征方程D(z)变换为W平面上的特征方程D(w),即:从而在W平面上应用劳斯稳定判据判别离散控制系统的稳定性例:设闭环离散控制系统的特征方程为:试判断此系统的稳定性.解:令代入D(z)得:列出劳斯表为:因为劳斯表有两次符号改变,所以D(
7、w)有两个根在W平面的右半平面上,即D(z)有两个根在Z平面的单位圆的外部,故此系统不稳定.2.李雅普诺夫稳定判据在离散控制系统中的应用对于线性定常离散控制系统,李雅普诺夫直接法的稳定判据可作如下表述:为讨论问题方便起见,设采样周期T=1s.则给定系统的状态方程可表为:若系统是渐近稳定的,则任意选定一个正定的对称矩阵Q(一般Q=I),必存在一个正定的对称矩阵P,满足离散李雅普诺夫方程,即:而李雅普诺夫函数:李雅普诺夫函数的变化率:例
